2022 新高考Ⅱ卷 - 第04题 (单选题)

向量数量积坐标运算与夹角
前置知识回顾：公式与定理 (点击展开)
  • 向量数量积坐标公式： 若 \( \vec{u} = (x_1, y_1), \vec{v} = (x_2, y_2) \)，则 \( \vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2 \)，模长 \( |\vec{u}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2} \)。
  • 向量夹角余弦公式： \( \cos\langle\vec{u}, \vec{v}\rangle = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|} \)。

4. 已知向量 \( \vec{a} = (3, 4) \)，\( \vec{b} = (1, 0) \)，\( \vec{c} = \vec{a} + t\vec{b} \)，若 \( \langle \vec{a}, \vec{c} \rangle = \langle \vec{b}, \vec{c} \rangle \)，则 \( t = \) (　　)

  • A. -6
  • B. -5
  • C. 5
  • D. 6
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思路与规范推导

破题思路全景图

写出坐标：c = (3 + t, 4)
计算模长：|a| = √(3² + 4²) = 5，|b| = 1
代入夹角相等等式：a·c / (|a||c|) = b·c / (|b||c|)
消去分母 |c|：(25 + 3t)/5 = 3 + t，解一元一次方程得 t = 5 锁定 C

最优解法深度剖析

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【解析详解】

由题设 \( \vec{a} = (3, 4) \)，\( \vec{b} = (1, 0) \)，则：

\[ \vec{c} = \vec{a} + t\vec{b} = (3 + t, 4) \]

求向量模长：\( |\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \)，\( |\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1 \)。

求数量积：

\[ \vec{a} \cdot \vec{c} = 3(3 + t) + 4 \times 4 = 9 + 3t + 16 = 25 + 3t \]
\[ \vec{b} \cdot \vec{c} = 1 \times (3 + t) + 0 \times 4 = 3 + t \]

因为 \( \langle \vec{a}, \vec{c} \rangle = \langle \vec{b}, \vec{c} \rangle \)，所以其夹角余弦值相等：

\[ \frac{\vec{a} \cdot \vec{c}}{|\vec{a}||\vec{c}|} = \frac{\vec{b} \cdot \vec{c}}{|\vec{b}||\vec{c}|} \]

两边同乘以 \( |\vec{c}| \) 并代入模长值：

\[ \frac{25 + 3t}{5} = \frac{3 + t}{1} \implies 25 + 3t = 15 + 5t \implies 2t = 10 \implies t = 5 \]

故选 C。

干扰项排雷

• 误选 B： 解一元一次方程移项时把 \( 25 - 15 = 10 \) 错算成了 -10。

• 误选 D： 模长公式记错，误将 \( |\vec{a}| \) 当成 4 进行计算。

最终答案核对

解析阅读完毕，点击核对最终答案
正确答案：C

核心模型与结论

平面向量角平分线定理模型：\( \vec{c} \) 与 \( \vec{a}, \vec{b} \) 夹角相等，说明 \( \vec{c} \) 平行于两向量的单位向量之和 \( \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} + \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} \)。

易错警示与避坑

盲目展开 \( |\vec{c}| \) 的根号！在等式两边都有 \( |\vec{c}| \) 作为分母时直接约分即可，万万不可去解带根号的高次无理方程。

高分技法与秒杀

单位向量平分线秒杀法：\( \vec{a} \) 的单位向量为 \( \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right) \)，\( \vec{b} \) 的单位向量为 \( (1, 0) \)。角平分线方向为两者之和：\( \left(\frac{8}{5}, \frac{4}{5}\right) \propto (2, 1) \)。要求 \( \vec{c} = (3+t, 4) \) 的斜率为 \( \frac{4}{3+t} = \frac{1}{2} \implies 3+t = 8 \implies t = 5 \)，10秒秒杀 C！

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