百校联考 - 第09题 (多选)

解三角形综合性质
前置知识回顾：公式与定理 (点击展开)
  • 余弦定理： \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C \)。
  • 正弦定理与外接圆： \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \)。
  • 三角形面积公式： \( S = \frac{1}{2}ab\sin C \)。

9. 在 \( \triangle ABC \) 中，内角 \( A, B, C \) 所对的边分别为 \( a, b, c \)，\( C = \frac{2\pi}{3} \)，\( c = \sqrt{7} \)，\( b = a + 1 \)，则下列说法正确的是 (　　)

  • A. \( \triangle ABC \) 的外接圆半径为 \( \frac{\sqrt{7}}{3} \)
  • B. \( a = 1 \)
  • C. \( \triangle ABC \) 的面积为 \( \sqrt{3} \)
  • D. \( \sin B = 2\sin A \)
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选项瀑布流揭秘

破题思路全景图

第一步：余弦定理结合条件 b=a+1 列方程解出 a=1, b=2
第二步：正弦定理求外接圆直径 2R = c / sin C
第三步：面积公式 S = 1/2 * a * b * sin C 计算面积
第四步：正弦定理边角互化判断 sin B / sin A
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❌ 选项 A 错误：

由正弦定理得 \( 2R = \frac{c}{\sin C} = \frac{\sqrt{7}}{\sin \frac{2\pi}{3}} = \frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{21}}{3} \)。

因此外接圆半径 \( R = \frac{\sqrt{21}}{3} \ne \frac{\sqrt{7}}{3} \)。A 错误。

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✅ 选项 B 正确：

由余弦定理得 \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C \)，即：

\( 7 = a^2 + (a+1)^2 - 2a(a+1)\cos \frac{2\pi}{3} \)。

因为 \( \cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} \)，所以：

\( 7 = a^2 + a^2 + 2a + 1 + a(a+1) = 3a^2 + 3a + 1 \)。

整理得 \( 3a^2 + 3a - 6 = 0 \implies a^2 + a - 2 = 0 \implies (a+2)(a-1) = 0 \)。

由于边长 \( a > 0 \)，解得 \( a = 1 \)，相应 \( b = a + 1 = 2 \)。B 正确。

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❌ 选项 C 错误：

\( \triangle ABC \) 的面积 \( S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2} \times 1 \times 2 \times \sin \frac{2\pi}{3} = 1 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \ne \sqrt{3} \)。C 错误。

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✅ 选项 D 正确：

由正弦定理 \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \)，可得 \( \frac{\sin B}{\sin A} = \frac{b}{a} = \frac{2}{1} = 2 \)，即 \( \sin B = 2\sin A \)。D 正确。

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正确答案：BD

核心模型与结论

解三角形标准模型：已知一角对边及另外两边关系，优先通过余弦定理列一元二次方程求解边长，再统筹计算面积与外接圆半径。

易错警示与避坑

求解正弦定理外接圆半径时，公式为 2R = c / sin C，容易粗心漏除以 2 错把直径当作半径。

高分技法与秒杀

在计算选项 D 时，利用正弦定理直接边角互化：sin B / sin A = b / a = 2/1 = 2，无需算角直接秒杀！

诊断与进阶指南

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