15. 若曲线 \( y = (x + a)\text{e}^x \) 有两条过坐标原点的切线，则 \( a \) 的取值范围是________________．
第一步：求导数与切线方程
函数为 \( y = (x + a)\text{e}^x \)，对其求导：
设切点坐标为 \( (x_0, y_0) \)，其中 \( y_0 = (x_0 + a)\text{e}^{x_0} \)。
则切线方程为：
第二步：代入原点坐标化简
因为切线过坐标原点 \( (0, 0) \)，将 \( x = 0, y = 0 \) 代入切线方程：
因为对任意 \( x_0 \in \mathbf{R} \)，恒有 \( \text{e}^{x_0} > 0 \)，两边同除以 \( -\text{e}^{x_0} \)：
展开并移项整理为关于切点横坐标 \( x_0 \) 的一元二次方程：
第三步：利用判别式求解取值范围
曲线有两条过坐标原点的切线，等价于关于 \( x_0 \) 的方程 \( x_0^2 + ax_0 - a = 0 \) 有两个不同的实数根。
因此判别式必须严格大于 0：
解二次不等式 \( a(a + 4) > 0 \)，得：
因此 \( a \) 的取值范围为 \( (-\infty, -4) \cup (0, +\infty) \)。
• 代错原点： 误将原点 \( (0,0) \) 当成切点代入求导公式，直接去算 \( f'(0) \)，彻底违背“过点切线”基本概念。
• 符号搞错： 化简方程时将 \( -(-a) \) 算成 \( -4a \)，导致判别式算成 \( a^2 - 4a > 0 \)。
过定点求切线“设切点转化判别式”模型：切线条数 ⇔ 切点个数 ⇔ 关于切点横坐标 \( x_0 \) 的代数方程根的个数。
切点不在原点！切记切线“过”原点不代表在原点相切，绝不可把 \( x=0 \) 代入导函数！
秒杀因式分解法：过原点切线满足 \( \frac{f(x_0)}{x_0} = f'(x_0) \implies \frac{x_0+a}{x_0} = x_0+a+1 \implies x_0^2 + ax_0 - a = 0 \)。二次项系数 1，直接 \( \Delta = a^2 + 4a > 0 \implies a(a+4)>0 \)，30 秒搞定！
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