14. 写出与圆 \( x^2 + y^2 = 1 \) 和 \( (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 16 \) 都相切的一条直线的方程________________．
第一步：分析两圆位置关系
圆 \( C_1: x^2 + y^2 = 1 \)，圆心为 \( O_1(0, 0) \)，半径 \( r_1 = 1 \)；
圆 \( C_2: (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 16 \)，圆心为 \( O_2(3, 4) \)，半径 \( r_2 = 4 \)。
两圆心之间的距离为：
因为 \( r_1 + r_2 = 1 + 4 = 5 = d \)，所以两圆外切！共有 3 条公切线。
第二步：求解最便捷的内公切线（过切点）
连心线 \( O_1 O_2 \) 的斜率为 \( k_{O_1 O_2} = \frac{4 - 0}{3 - 0} = \frac{4}{3} \)。
内公切线垂直于连心线，故其斜率为：
因为两圆外切，内公切线到 \( O_1(0,0) \) 的距离等于半径 1，设方程为 \( 3x + 4y + C = 0 \)：
切点在第一象限，故 \( C = -5 \)，方程为 \( 3x + 4y - 5 = 0 \)（即 \( y = -\frac{3}{4}x + \frac{5}{4} \)）。
第三步：其他备选外公切线
• 观察可知，竖直直线 \( x = -1 \) 与圆 \( C_1 \) 切于 \( (-1, 0) \)，到 \( O_2(3, 4) \) 的距离为 \( |3 - (-1)| = 4 = r_2 \)，恰好也是一条公切线！
• 另一条外公切线方程为 \( 7x - 24y - 25 = 0 \)（即 \( y = \frac{7}{24}x - \frac{25}{24} \)）。
本题为开放性填空，写出上述任意一条均可得满分！
• 设斜率忘记讨论垂直： 若直接设点斜式 \( y = kx + b \)，会漏掉垂直于 x 轴的切线 \( x = -1 \)。
• 未判断外切： 盲目联立圆方程硬解方程组，计算量暴增且容易算错。
两圆公切线条数与位置关系模型：外离（4条）、外切（3条）、相交（2条）、内切（1条）、内含（0条）。外切题必首选内公切线，直接法向量垂直连心线秒解！
直接设斜截式 \( y=kx+b \) 时丢掉 \( x=-1 \) 的情形。求切线凡设斜率必验斜率不存在！
几何法一眼直给：圆心在原点半径 1，圆心在 (3,4) 半径 4，左边界 \( x = 0 - 1 = -1 \)，右圆左边界 \( x = 3 - 4 = -1 \)，两圆共同切于竖直线 \( x = -1 \)！5 秒直接手写 \( x = -1 \)，全卷最快满分！
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