17. 记 \( S_n \) 为数列 \( \{a_n\} \) 的前 \( n \) 项和，已知 \( a_1 = 1 \)，\( \left\{\frac{S_n}{a_n}\right\} \) 是公差为 \( \frac{1}{3} \) 的等差数列．
（1）求 \( \{a_n\} \) 的通项公式；
（2）证明：\( \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n} < 2 \)．
由 \( a_1 = 1 \)，得 \( \frac{S_1}{a_1} = 1 \)。
因为 \( \left\{\frac{S_n}{a_n}\right\} \) 是公差为 \( \frac{1}{3} \) 的等差数列，所以：
当 \( n \ge 2 \) 时，由 \( 3S_{n-1} = (n + 1)a_{n-1} \)，两式作差得：
即 \( 3a_n = (n + 2)a_n - (n + 1)a_{n-1} \implies (n - 1)a_n = (n + 1)a_{n-1} \)。
故递推比例式为：
当 \( n \ge 2 \) 时，利用累乘法：
分子分母交叉对消后，仅剩分母 \( 1 \times 2 \) 和分子 \( n(n + 1) \)：
当 \( n = 1 \) 时，\( a_1 = \frac{1 \times 2}{2} = 1 \)，适合上式。
综上，数列 \( \{a_n\} \) 的通项公式为 \( a_n = \frac{n(n + 1)}{2} \)。
由（1）可知 \( a_n = \frac{n(n + 1)}{2} \)，取倒数得通项为：
记 \( T_n = \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n} \)，利用裂项相消求和：
因为对任意 \( n \in \mathbf{N}^* \)，均有 \( \frac{2}{n + 1} > 0 \)，所以：
即 \( \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n} < 2 \) 恒成立。证明完毕！
数列累乘法与裂项相消“首尾保留”模型：凡遇到 \( \frac{a_n}{a_{n-1}} = \frac{f(n)}{f(n-1)} \) 结构，必用累乘法；分母为连续两正整数之积时，必裂项为差求和！
作差后忘记验证 \( n = 1 \) 的相符性！在高考评分标准中，如果不写“当 \( n = 1 \) 时满足”，会被扣除 1 分！
累乘对消技巧：因分式上下跨度为 2（\( n+1 \) 与 \( n-1 \) 相差 2），抵消后头部必定保留两个分母（1 和 2），尾部必定保留两个分子（\( n \) 和 \( n+1 \)），记牢结论直接秒填！
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