18. 记 \( \triangle ABC \) 的内角 \( A, B, C \) 的对边分别为 \( a, b, c \)，已知 \( \frac{\cos A}{1 + \sin A} = \frac{\sin 2B}{1 + \cos 2B} \)．
（1）若 \( C = \frac{2\pi}{3} \)，求 \( B \)；
（2）求 \( \frac{a^2 + b^2}{c^2} \) 的最小值．
由已知恒等式右侧，根据二倍角公式化简：
将其与左边相等：
移项整理：
因为 \( A + B + C = \pi \)，所以 \( \cos(A + B) = \cos(\pi - C) = -\cos C \)。
代入 \( C = \frac{2\pi}{3} \)，得：
因为 \( C = \frac{2\pi}{3} \)，所以 \( B \in \left(0, \frac{\pi}{3}\right) \)，故唯一解为：
由（1）知 \( -\cos C = \sin B > 0 \implies \cos C < 0 \)，故 \( C \) 必为钝角。
且 \( \cos C = -\sin B = \cos\left(B + \frac{\pi}{2}\right) \implies C = B + \frac{\pi}{2} \)。
因此内角 \( A = \pi - B - C = \frac{\pi}{2} - 2B \)。由 \( A > 0 \) 得 \( 0 < B < \frac{\pi}{4} \)。
由正弦定理将边化角：
令 \( t = \sin^2 B \)，因为 \( B \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) \)，所以 \( t \in \left(0, \frac{1}{2}\right) \)。
设 \( u = 1 - t \in \left(\frac{1}{2}, 1\right) \)，则：
由基本不等式，当 \( 4u = \frac{2}{u} \implies u^2 = \frac{1}{2} \implies u = \frac{\sqrt{2}}{2} \in \left(\frac{1}{2}, 1\right) \) 时取等号：
所以 \( \frac{a^2 + b^2}{c^2} \) 的最小值为 \( 4\sqrt{2} - 5 \)。
解三角形角化边与边化角“对偶结构”模型：化简出 \( \cos(A+B) = \sin B \) 是全题通关钥匙！第二问利用正弦定理角代换后，换元法 \( u = 1 - \sin^2 B \) 化为对勾函数对号入座。
钝角判定遗失！忽略 \( \sin B > 0 \implies \cos C < 0 \)，导致误判 \( C \) 的锐角情况，范围推错。
对勾函数极值速套：代数式化简为 \( g(u) = 4u + \frac{2}{u} - 5 \)，直接均值不等式两项相乘：\( 2\sqrt{4 \times 2} - 5 = 4\sqrt{2} - 5 \)，验证等号点 \( u = \frac{\sqrt{2}}{2} \in (0.5, 1) \) 成立，瞬间锁定满分答案！
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