2022 新高考Ⅱ卷 - 第02题 (单选题)

复数代数乘法运算

前置知识回顾：公式与定理 (点击展开)

虚数单位基本性质： \( \text{i}^2 = -1 \)。
复数乘法法则： \( (a + b\text{i})(c + d\text{i}) = (ac - bd) + (ad + bc)\text{i} \)，完全遵循多项式展开分配律并代入 \( \text{i}^2 = -1 \)。

2. \( (2 + 2\text{i})(1 - 2\text{i}) = \) (　　)

基于数学引擎的绝对精确动态绘图

思路与规范推导

多项式分配律展开：(2 + 2i)(1 - 2i) = 2·1 - 4i + 2i - 4i²

代入 i² = -1 转化尾项：-4i² = -4(-1) = +4

合并实部与虚部：实部 2 + 4 = 6，虚部 -4i + 2i = -2i

得到最终代数式 6 - 2i，锁定选项 D

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【解析详解】

按照复数乘法运算法则，直接展开多项式：

\[ (2 + 2\text{i})(1 - 2\text{i}) = 2 \times 1 - 2 \times 2\text{i} + 2\text{i} \times 1 - 2\text{i} \times 2\text{i} \]

\[ = 2 - 4\text{i} + 2\text{i} - 4\text{i}^2 \]

因为 \( \text{i}^2 = -1 \)，所以尾项变为 \( -4 \times (-1) = +4 \)：

\[ = (2 + 4) + (-4 + 2)\text{i} = 6 - 2\text{i} \]

故选 D。

• 误选 A 或 B： 忘记 \( \text{i}^2 = -1 \)，直接把实部算成了 \( 2 - 4 = -2 \)。

• 误选 C： 虚部合并同类项时算错符号，把 \( -4\text{i} + 2\text{i} \) 算成了 \( +2\text{i} \)。

解析阅读完毕，点击核对最终答案

正确答案：D

复数“十字相乘”口诀模型：实部等于“实乘实减虚乘虚”，虚部等于“内项乘加外项乘”。

符号双重负号陷阱！展开式中 \( -4\text{i}^2 = -4(-1) = +4 \)，高中生极易粗心错写为 -4。

口诀秒算：实部 \( 2 \times 1 - 2 \times (-2) = 2 + 4 = 6 \)；虚部 \( 2 \times 1 + 2 \times (-2) = 2 - 4 = -2 \)。瞬间得出 \( 6 - 2\text{i} \)，5 秒锁定 D！

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虚数单位负号算错：忘记 i² = -1 会改变实部正负号虚部合并算错：把 -4i + 2i 算成了 +2i 完美通关：多项式展开心算熟练，瞬间拿下 D！