2022 新高考Ⅱ卷 - 第01题 (单选题)

集合交集与绝对值不等式

前置知识回顾：公式与定理 (点击展开)

绝对值不等式解法： \( |x - a| \le b \,(b \ge 0) \iff a - b \le x \le a + b \)。
集合交集运算： \( A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ 且 } x \in B\} \)，筛选在两集合中共同出现的元素。

1. 已知集合 \( A = \{-1, 1, 2, 4\} \)，\( B = \{x \mid |x - 1| \le 1\} \)，则 \( A \cap B = \) (　　)

基于数学引擎的绝对精确动态绘图

思路与规范推导

解绝对值不等式：|x - 1| ≤ 1 ⇔ -1 ≤ x - 1 ≤ 1

两边同时加 1 解得集合 B = [0, 2]

在集合 A = {-1, 1, 2, 4} 中筛选落在 [0, 2] 的离散点

确定 A ∩ B = {1, 2}，锁定选项 B

点击查看最优解推导过程

【解析详解】

第一步：求集合 \( B \)。解绝对值不等式 \( |x - 1| \le 1 \)：

\[ -1 \le x - 1 \le 1 \implies 0 \le x \le 2 \implies B = [0, 2] \]

第二步：求交集 \( A \cap B \)。已知 \( A = \{-1, 1, 2, 4\} \)，逐一检验：

因此公共交集元素为：\( A \cap B = \{1, 2\} \)。

故选 B。

• 误选 A： 解绝对值不等式时移项符号搞错，错把区间算成 \( [-2, 0] \)。

• 误选 C 或 D： 忘记区间上限是 2，把 4 也混入了集合交集中。

解析阅读完毕，点击核对最终答案

正确答案：B

绝对值几何意义与离散集合求交模型：\( |x - 1| \le 1 \) 表示数轴上到 1 的距离不超过 1 的闭区间 \( [1-1, 1+1] = [0, 2] \)。

混淆离散集合与连续区间：\( A \) 是离散点集，答案必须写成列举式大括号 \( \{1, 2\} \)，不能写成区间。

代入验证秒杀：直接拿 \( A \) 中 4 个元素代入 \( |x-1| \le 1 \)：
• \( |-1-1|=2>1 \) 排除 -1（排除 A、D）；
• \( |4-1|=3>1 \) 排除 4（排除 C）；
10 秒直接锁定 B！

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绝对值不等式公式解错：没有写成双向不等式区间边界看错：以为包含 4 或漏掉 2 直接代入检验时算错绝对值完美通关：几何意义一眼看穿区间 [0, 2]，秒选 B！