2022 新高考Ⅱ卷 - 第06题 (单选题)

三角恒等变换与和差角公式
前置知识回顾：公式与定理 (点击展开)
  • 辅助角公式： \( \cos\alpha - \sin\alpha = \sqrt{2}\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) \)。
  • 两角和差展开： \( \sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta \)，\( \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta \)。

6. 若 \( \sin(\alpha + \beta) + \cos(\alpha + \beta) = 2\sqrt{2}\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)\sin\beta \)，则 (　　)

  • A. \( \tan(\alpha - \beta) = 1 \)
  • B. \( \tan(\alpha + \beta) = 1 \)
  • C. \( \tan(\alpha - \beta) = -1 \)
  • D. \( \tan(\alpha + \beta) = -1 \)
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思路与规范推导

破题思路全景图

展开右边：2√2·(√2/2 cos α - √2/2 sin α)·sin β = 2(cos α - sin α)sin β
展开左边和角公式并移项合并同类项
得到 sin α cos β - cos α sin β + cos α cos β + sin α sin β = 0
识别和差角结构：sin(α - β) + cos(α - β) = 0
两边同除以 cos(α - β) 得 tan(α - β) = -1 锁定 C

最优解法深度剖析

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【解析详解】

第一步：展开等式右边。由辅助角公式反向展开：

\[ 2\sqrt{2}\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)\sin\beta = 2\sqrt{2}\left(\cos\alpha\cos\frac{\pi}{4} - \sin\alpha\sin\frac{\pi}{4}\right)\sin\beta \]
\[ = 2\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha - \sin\alpha)\sin\beta = 2(\cos\alpha\sin\beta - \sin\alpha\sin\beta) \]

第二步：展开等式左边：

\[ \sin(\alpha + \beta) + \cos(\alpha + \beta) = (\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta) + (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) \]

第三步：两边相等并移项：

\[ \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta + \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta = 2\cos\alpha\sin\beta - 2\sin\alpha\sin\beta \]

将右边项全部移至左边合并同类项：

\[ (\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta) + (\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) = 0 \]

第四步：合并为和差角公式：

\[ \sin(\alpha - \beta) + \cos(\alpha - \beta) = 0 \]

两边同除以 \( \cos(\alpha - \beta) \)，得：

\[ \tan(\alpha - \beta) + 1 = 0 \implies \tan(\alpha - \beta) = -1 \]

故选 C。

干扰项排雷

• 误选 A： 移项时符号弄反，算成 \( \tan(\alpha - \beta) = 1 \)。

• 误选 D： 差角公式识别错误，误将 \( \alpha - \beta \) 认成了 \( \alpha + \beta \)。

最终答案核对

解析阅读完毕，点击核对最终答案
正确答案：C

核心模型与结论

三角展开消元与“齐次化商数”模型：\( A\sin\theta + B\cos\theta = 0 \iff \tan\theta = -\frac{B}{A} \)。

易错警示与避坑

两角差的余弦公式符号！\( \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta \)，中间是正号，千万别写成负号！

高分技法与秒杀

特殊值快速代入法：令 \( \beta = 0 \)，左边 \( \sin\alpha + \cos\alpha \)，右边 0，要求 \( \tan\alpha = -1 \)。将 \( \beta = 0 \) 代入选项：A 为 \( \tan\alpha = 1 \)，C 为 \( \tan\alpha = -1 \)，直接排除 A、B，5秒秒杀 C！

诊断与进阶指南

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