7. 已知正三棱台的高为 1，上、下底面边长分别为 \( 3\sqrt{3} \) 和 \( 4\sqrt{3} \)，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ( )
【解析详解】
第一步：求正三棱台上下两底面外接圆半径 \( r_1, r_2 \)。
由正三角形性质，外接圆半径等于边长除以 \( \sqrt{3} \)：
第二步：判断球心与底面的空间相对位置。
设外接球半径为 \( R \)。易知球心在三棱台的高所在直线上。
设球心到下底面的垂直距离为 \( d \)，因为 \( r_1 = 3 < r_2 = 4 \)，且棱台高为 1，故球心与两底面位于同侧，球心到上底面的距离为 \( d + 1 \)。
由截面圆勾股定理：
两式相等：
第三步：计算球半径与表面积。
代入球表面积公式：
故选 A。
• 误选 C 或 D： 误将半径平方套入体积公式或表面积漏乘系数 4。
• 误选 B： 误设球心在两底面之间列出 \( d_1 + d_2 = 1 \)，导致算出的距离为负数而陷入迷茫。
几何体外接球“截面双勾股联立消元”模型：遇到台体/柱体外接球，抓两个底面的平行截面圆半径 \( r_1, r_2 \)，由 \( R^2 = r_1^2 + d_1^2 = r_2^2 + d_2^2 \) 与 \( |d_1 \pm d_2| = h \) 联立秒杀！
球心位置方向判断！若设在中间得 \( d_1 + d_2 = 1 \implies d_1^2 - d_2^2 = r_2^2 - r_1^2 = 7 \implies d_1 - d_2 = 7 \)，相加 \( d_1 = 4 > 1 \)，说明球心必在外部！
勾股数口算秒杀：底面半径一个 3、一个 4，高为 1。联想到经典勾股数 3-4-5，当距离为 4 和 3 时，恰好 \( 3^2 + 4^2 = 5^2 \)，高度差 \( 4 - 3 = 1 \) 完美吻合！直接得出 \( R = 5 \)，面积 \( 4\pi \times 25 = 100\pi \)，20 秒手撕 A！
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