15. 设点 \( A(-2, 3), B(0, a) \)，若直线 \( AB \) 关于 \( y = a \) 对称的直线与圆 \( (x + 3)^2 + (y + 2)^2 = 1 \) 有公共点，则 \( a \) 的取值范围是________．
第一步：求对称直线方程
因为点 \( B(0, a) \) 本身就在对称轴 \( y = a \) 上，所以其对称点就是它自身。
点 \( A(-2, 3) \) 关于直线 \( y = a \) 对称的点 \( A' \) 横坐标不变，纵坐标满足：
故 \( A'(-2, 2a - 3) \)。
对称直线 \( l' \) 经过 \( B(0, a) \) 和 \( A'(-2, 2a - 3) \)，其斜率为：
直线 \( l' \) 的方程为：
第二步：根据圆相交条件建立距离不等式
圆 \( (x + 3)^2 + (y + 2)^2 = 1 \) 的圆心为 \( C(-3, -2) \)，半径 \( r = 1 \)。
直线与圆有公共点，等价于圆心到直线的距离 \( d \le r = 1 \)：
第三步：两边平方去绝对值并因式分解
两边同除以 4：
因式分解得：
因此 \( a \) 的取值范围是 \( \left[\frac{1}{3}, \frac{3}{2}\right] \)。
• 对称点纵坐标公式搞错： 算成 \( a - 3 \)，导致直线方程全错。
• 因式分解算错根： 在十字相乘 \( 6a^2 - 11a + 3 \) 时符号看错，解成相反区间。
几何直线对称转化与圆相切判据模型：动点在动直线上时，优先将点对称转化为直线斜截式 \( (3-a)x - 2y + 2a = 0 \)，再通过点线距离公式化为标准二次不等式求解。
直接设直线点斜式联立方程计算量爆炸！必须使用几何法 \( d \le r \)，绝对不可硬联立代数方程求判别式。
十字相乘秒解：化到 \( 6a^2 - 11a + 3 \le 0 \)，十字相乘 \( (2a - 3)(3a - 1) \le 0 \)，两根一目了然 \( \frac{1}{3} \) 和 \( \frac{3}{2} \)，区间直接闭合锁定！
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