14. 曲线 \( y = \ln|x| \) 过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
第一步：求 \( x > 0 \) 分支的切线方程
当 \( x > 0 \) 时，函数为 \( y = \ln x \)，求导得 \( y' = \frac{1}{x} \)。
设切点坐标为 \( (x_0, \ln x_0) \)（\( x_0 > 0 \)），则切线方程为：
因为切线过坐标原点 \( (0, 0) \)，代入 \( x = 0, y = 0 \)：
切点为 \( (\text{e}, 1) \)，切线斜率为 \( k = \frac{1}{\text{e}} \)。
故该切线方程为：
第二步：利用偶函数对称性求 \( x < 0 \) 分支的切线
因为曲线 \( y = \ln|x| \) 关于 \( y \) 轴对称，另一条过原点的切线必然关于 \( y \) 轴对称。
将 \( x \) 换为 \( -x \)，直接可得另一条切线方程为：
• 漏掉一条负切线： 只解出了 \( x > 0 \) 的 \( y = \frac{1}{\text{e}}x \)，忘记原题是“两条切线”。
• 自然常数写错： 把 \( \ln x_0 = 1 \) 错解为 \( x_0 = 10 \)。
过原点对数切线经典结论模型：\( y = \ln x \) 过原点切线为 \( y = \frac{1}{\text{e}}x \)；\( y = \text{e}^x \) 过原点切线为 \( y = \text{e}x \)。两者互为反函数关于 \( y = x \) 对称，高考必备秒杀常识！
切点不在原点！切记对数函数在原点无定义，切线是“经过原点”而不是“在原点处”。
经典结论秒填：高中数学两大天王切线：\( y = \text{e}^x \) 切线为 \( y = \text{e}x \)，\( y = \ln x \) 切线为 \( y = \frac{1}{\text{e}}x \)。加上绝对值即加一对相反数斜率，直接默写 \( y = \pm \frac{1}{\text{e}}x \)，5 秒交卷！
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