17. 已知 \( \{a_n\} \) 为等差数列，\( \{b_n\} \) 是公比为 2 的等比数列，且 \( a_2 - b_2 = a_3 - b_3 = b_4 - a_4 \)．
（1）证明：\( a_1 = b_1 \)；
（2）求集合 \( \{k \mid b_k = a_m + a_1, 1 \le m \le 500\} \) 中元素个数．
设等差数列 \( \{a_n\} \) 的公差为 \( d \)。
因为等比数列 \( \{b_n\} \) 的公比 \( q = 2 \)，所以 \( b_2 = 2b_1 \)，\( b_3 = 4b_1 \)，\( b_4 = 8b_1 \)。
由已知 \( a_2 - b_2 = a_3 - b_3 \)，代入通项公式：
两边消去 \( a_1 \) 并移项化简得：
又由 \( a_3 - b_3 = b_4 - a_4 \)，代入通项公式：
整理得：
将 \( d = 2b_1 \) 代入上式：
证明完毕！
由（1）知 \( a_1 = b_1 \)，且 \( d = 2b_1 \)。
等比数列通项为 \( b_k = b_1 \cdot 2^{k-1} \)。
等差数列第 \( m \) 项与首项之和为：
根据方程 \( b_k = a_m + a_1 \)：
因为等比数列各非零（若 \( b_1 = 0 \) 则与 \( b_4 - a_4 \) 产生退化），两边同除以 \( 2b_1 \)：
已知 \( 1 \le m \le 500 \)，故有不等式：
因为 \( k \in \mathbf{N}^* \)，且 \( 2^0 = 1 \)，\( 2^8 = 256 \le 500 \)，而 \( 2^9 = 512 > 500 \)，所以：
符合条件的整数 \( k \) 为：\( 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \)，共 \( 10 - 2 + 1 = 9 \) 个。
因此该集合中的元素个数为 9。
等差等比混合交织“消元统一首项公比”模型：方程包含两个数列时，优先用公比写出等比各项，进而建立公差 \( d \) 与首项 \( b_1 \) 的倍数关联，化简即破局。
指数取值范围算错！\( 2^{k-2} \le 500 \) 中 \( 2^8 = 256 \)，\( 2^9 = 512 \)，指数最大只能取到 8，因此 \( k \) 最大为 10，切勿算成 11。
列表心算秒杀：\( m = 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 \) 共 9 个 2 的幂次在 500 以内，直接回答 9 个，口算 15 秒！
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