18. 记 \( \triangle ABC \) 的内角 \( A, B, C \) 的对边分别为 \( a, b, c \)，分别以 \( a, b, c \) 为边长的三个正三角形的面积依次为 \( S_1, S_2, S_3 \)，已知 \( S_1 - S_2 + S_3 = \frac{\sqrt{3}}{2}, \sin B = \frac{1}{3} \)．
（1）求 \( \triangle ABC \) 的面积；
（2）若 \( \sin A\sin C = \frac{\sqrt{2}}{3} \)，求 \( b \)．
由正三角形面积公式，三个正三角形的面积依次为：
代入已知 \( S_1 - S_2 + S_3 = \frac{\sqrt{3}}{2} \)：
由余弦定理：
因为 \( a^2 + c^2 - b^2 = 2 > 0 \)，说明角 \( B \) 为锐角。
已知 \( \sin B = \frac{1}{3} \)，所以：
因此：
由三角形面积公式：
由正弦定理：\( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \)，可得：
两式相乘：
将 \( ac = \frac{3\sqrt{2}}{4} \)，\( \sin B = \frac{1}{3} \)，\( \sin A\sin C = \frac{\sqrt{2}}{3} \) 代入上式：
两边同除以 \( 3\sqrt{2} \)：
因为边长 \( b > 0 \)，所以：
正弦余弦定理“面积桥梁与乘积代换”模型：\( ac = \frac{1}{\cos B} \) 与 \( ac = \frac{b^2\sin A\sin C}{\sin^2 B} \) 形成完美的等量闭环，直接联立消元求解边长！
余弦值正负号讨论！已知余弦定理分子等于 2 > 0，直接锁定 \( B \) 为锐角，切不可画蛇添足取负值。
代数消元口算：已知 \( ac = \frac{3\sqrt{2}}{4} \)，由正弦定理两式相乘 \( ac = 3\sqrt{2}b^2 \)，直接两式一除：\( b^2 = \frac{1}{4} \implies b = \frac{1}{2} \)，毫无多余计算！
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