百校联考 - 第01题 (单选题)

集合 · 一元二次不等式解集与集合交集运算
前置知识回顾：公式与定理 (点击展开)
  • 一元二次不等式：\(x^2 < 1 \iff -1 < x < 1\)，即集合 \(A = (-1, 1)\)。
  • 线性不等式解集：\(0 < 2x < 4 \iff 0 < x < 2\)，即集合 \(B = (0, 2)\)。
  • 集合交集定义：\(A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ 且 } x \in B\}\)，对应数轴上的重叠区间。
已知集合 \(A = \{x \mid x^2 < 1\}\)，\(B = \{x \mid 0 < 2x < 4\}\)，则 \(A \cap B =\)
A. \((-1, 1)\)
B. \((0, 2)\)
C. \((0, 1)\)
D. \((1, 2)\)
基于数学引擎的绝对精确动态绘图

思路与规范推导

破题思路全景图

解不等式 x²<1 得集合 A
解不等式 0<2x<4 得集合 B
在数轴上求重叠公共区间 A∩B

最优解法深度剖析

点击查看最优解推导过程

第一步：化简集合 \(A\)

由 \(x^2 < 1\) 解得：\(-1 < x < 1\)，故 \(A = (-1, 1)\)。

第二步：化简集合 \(B\)

由 \(0 < 2x < 4\) 两边同除以 2 解得：\(0 < x < 2\)，故 \(B = (0, 2)\)。

第三步：求解交集 \(A \cap B\)

在数轴上绘制两区间，公共重叠部分为：

\[ A \cap B = (-1, 1) \cap (0, 2) = (0, 1). \]

干扰项深度排雷 (避坑指南)

• 误选 A \((-1, 1)\)： 误将集合 \(A\) 直接当成了交集答案，忽略了集合 \(B\) 的左边界约束 \(x>0\)。

• 误选 B \((0, 2)\)： 误将交集求成了并集，或误以为集合 \(B\) 包含于 \(A\)。

• 误选 D \((1, 2)\)： 错把差集 \(B \setminus A\) 当成了交集。

最终答案核对

解析阅读完毕，点击核对最终答案
正确答案：C

拓展与提炼

模型提炼
连续型数轴交集模型：处理一元二次及线性不等式集合问题，画数轴标出开闭空心/实心端点，重合区间即为交集。
易错警示
切勿遗漏负数平方性质把 \(x^2 < 1\) 错解为 \(x < 1\)；特别注意开闭区间边界值（此题均为严格不等号开区间）。
提速技巧
端点排除秒杀法：观察 \(B\) 中要求 \(x>0\)，立刻排除 A；观察 \(A\) 中要求 \(x<1\)，立即排除 B 和 D，3 秒秒选 C！

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