百校联考 - 第02题 (单选题)

复数 · 复数代数形式除法与实部虚部定义

前置知识回顾：公式与定理 (点击展开)

复数除法分母有理化：分子分母同乘分母的共轭复数：\(\frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}\)。
虚数单位性质：\(i^2 = -1\)。
复数实部定义：复数 \(z = x + yi\) (\(x, y \in \mathbf{R}\)) 的实部为 \(\text{Re}(z) = x\)，虚部为 \(\text{Im}(z) = y\)。

复数 \(z = \frac{1-i}{1+3i}\) 的实部为

A. \(-\frac{2}{5}\)

B. \(-\frac{1}{5}\)

C. \(\frac{1}{5}\)

D. \(\frac{2}{5}\)

基于数学引擎的绝对精确动态绘图

思路与规范推导

分子分母同乘共轭复数 1-3i

展开计算并利用 i²=-1 化简

提取实部 x 与选项比对

点击查看最优解推导过程

第一步：分母有理化计算复数 \(z\)

分母 \(1+3i\) 的共轭复数为 \(1-3i\)，分子分母同乘 \(1-3i\)：

\[ z = \frac{1-i}{1+3i} = \frac{(1-i)(1-3i)}{(1+3i)(1-3i)} \]

第二步：展开分子分母

分母为 \(1^2 - (3i)^2 = 1 - 9(-1) = 1 + 9 = 10\)。

分子展开为 \(1 - 3i - i + 3i^2 = 1 - 4i - 3 = -2 - 4i\)。

因此：

\[ z = \frac{-2 - 4i}{10} = -\frac{2}{10} - \frac{4}{10}i = -\frac{1}{5} - \frac{2}{5}i. \]

第三步：确定实部

复数 \(z\) 的实部为 \(-\frac{1}{5}\)（虚部为 \(-\frac{2}{5}\)）。

• 误选 A \(-\frac{2}{5}\)： 错把虚部当成了实部。

• 误选 C \(\frac{1}{5}\) 或 D \(\frac{2}{5}\)： 在展开分子 \(1 - i - 3i + 3i^2\) 时，将 \(3i^2 = -3\) 误算为 \(+3\)，导致分子实部错算为 \(1+3=4\)。

解析阅读完毕，点击核对最终答案

正确答案：B

模型提炼

复数代数运算与共轭除法模型：求实部或虚部时，牢记公式 \(\text{Re}\left(\frac{a+bi}{c+di}\right) = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}\)，分母必为两系数平方和。

易错警示

虚部是实数系数 \(b\)，绝不能写成带 \(i\) 的形式；严格警惕符号变换中 \(i^2=-1\) 带来的正负号逆转。

提速技巧

口算公式法：实部直接为 \(\frac{1 \times 1 + (-1) \times 3}{1^2 + 3^2} = \frac{1 - 3}{10} = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}\)，5 秒出答案！

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审题粗心，混淆已知条件与范围底层基础公式记忆不扎实代数恒等变形或代值计算失误空间几何/解析几何数形结合建模失败

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