2022 新高考Ⅰ卷 - 第01题 (单选题)

集合交集与二次根式
前置知识回顾：公式与定理 (点击展开)
  • 二次根式定义域与性质： \( \sqrt{x} \) 有意义必须满足 \( x \ge 0 \)；若 \( \sqrt{x} < 4 \)，两边平方得 \( 0 \le x < 16 \)。
  • 集合的交集运算： \( M \cap N = \{x \mid x \in M \text{ 且 } x \in N\} \)，在数轴上表现为两区间公共重叠部分。

1. 若集合 \( M = \{x \mid \sqrt{x} < 4\} \)，\( N = \{x \mid 3x \ge 1\} \)，则 \( M \cap N = \) (　　)

  • A. \( \{x \mid 0 \le x < 2\} \)
  • B. \( \left\{x \mid \frac{1}{3} \le x < 2\right\} \)
  • C. \( \{x \mid 3 \le x < 16\} \)
  • D. \( \left\{x \mid \frac{1}{3} \le x < 16\right\} \)
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思路与规范推导

破题思路全景图

解不等式 √x < 4 且 x ≥ 0 确定 M = [0, 16)
解一元一次不等式 3x ≥ 1 确定 N = [1/3, +∞)
数轴标根求公共重叠部分
确定 M ∩ N = [1/3, 16)，锁定选项 D

最优解法深度剖析

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【解析详解】

第一步：求集合 \( M \)。因为二次根式需满足被开方数非负，且 \( \sqrt{x} < 4 \)，两边平方得：

\[ 0 \le x < 16 \implies M = \{x \mid 0 \le x < 16\} \]

第二步：求集合 \( N \)。解一元一次不等式 \( 3x \ge 1 \)，得：

\[ x \ge \frac{1}{3} \implies N = \left\{x \mid x \ge \frac{1}{3}\right\} \]

第三步：求交集 \( M \cap N \)。取两集合的公共部分：

\[ M \cap N = \left\{x \mid \frac{1}{3} \le x < 16\right\} \]

故选 D。

干扰项排雷

• 误选 A： 误将 \( \sqrt{x} < 4 \) 算成 \( x < 2 \)，混淆了“开方”与“平方”。

• 误选 B： 同样因开平方失误算得上限为 2，导致错选。

• 误选 C： 错将 \( 3x \ge 1 \) 算成 \( x \ge 3 \)，解不等式基础不过关。

最终答案核对

解析阅读完毕，点击核对最终答案
正确答案：D

核心模型与结论

数轴标根与连续区间交并补模型。处理集合不等式时，“先求定义域，再解不等式，最后数轴画区间取公共交集”。

易错警示与避坑

漏掉 \( \sqrt{x} \) 自带的隐含条件 \( x \ge 0 \)。在高考集合题中，带有根号、对数、分母的式子必定暗藏自变量定义域陷阱！

高分技法与秒杀

代入特值排除法：令 \( x = 0 \)，满足 \( M \) 但不满足 \( N \)，故 \( 0 \notin M \cap N \)，直接排除 A；令 \( x = 4 \)，\( \sqrt{4}=2<4 \) 且 \( 12 \ge 1 \)，满足交集，而 B 中 \( x < 2 \) 排除！秒选 D！

诊断与进阶指南

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