2022 新高考Ⅰ卷 - 第22题 (解答题)

\( f(x) = \text{e}^x - ax \) 的定义域为 \( \mathbf{R} \)，求导得 \( f'(x) = \text{e}^x - a \)。

若 \( a \le 0 \)，则 \( f'(x) > 0 \) 恒成立，函数在 \( \mathbf{R} \) 单调递增，无最小值，不合题意，故 \( a > 0 \)。

当 \( x < \ln a \) 时，\( f'(x) < 0 \)，\( f(x) \) 单调递减；当 \( x > \ln a \) 时，\( f'(x) > 0 \)，\( f(x) \) 单调递增。

所以 \( f(x)_{\min} = f(\ln a) = \text{e}^{\ln a} - a\ln a = a - a\ln a \)。

\( g(x) = ax - \ln x \) 的定义域为 \( (0, +\infty) \)，求导得 \( g'(x) = a - \frac{1}{x} = \frac{ax - 1}{x} \)。

当 \( 0 < x < \frac{1}{a} \) 时，\( g'(x) < 0 \)，\( g(x) \) 单调递减；当 \( x > \frac{1}{a} \) 时，\( g'(x) > 0 \)，\( g(x) \) 单调递增。

所以 \( g(x)_{\min} = g\left(\frac{1}{a}\right) = a \times \frac{1}{a} - \ln\frac{1}{a} = 1 + \ln a \)。

因为两函数有相同最小值，所以：

构造函数 \( \varphi(a) = \ln a - \frac{a - 1}{a + 1} \,(a > 0) \)，求导得：

所以 \( \varphi(a) \) 在 \( (0, +\infty) \) 上严格单调递增，且 \( \varphi(1) = 0 - 0 = 0 \)。

因此方程有唯一解 \( a = 1 \)。

由（1）知 \( a = 1 \)，此时 \( f(x) = \text{e}^x - x \)，\( g(x) = x - \ln x \)，两函数最小值均为 1。

当 \( b > 1 \) 时，易证方程 \( \text{e}^x - x = b \) 与 \( x - \ln x = b \) 各有 2 个实根。

若直线 \( y = b \) 与两曲线共有 3 个不同交点，则必有 1 个公共交点，即两曲线在该点相交！

设 \( h(x) = f(x) - g(x) = \text{e}^x + \ln x - 2x \,(x > 0) \)。

求导：\( h'(x) = \text{e}^x + \frac{1}{x} - 2 > (x + 1) + \frac{1}{x} - 2 = x + \frac{1}{x} - 1 \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} - 1 = 1 > 0 \)。

因此 \( h(x) \) 在 \( (0, +\infty) \) 上严格单调递增。又 \( h(1) = \text{e} - 2 > 0 \)，\( h\left(\frac{1}{\text{e}^3}\right) < 0 \)，

由零点存在性定理，存在唯一 \( x_0 \in (0, 1) \) 使得 \( h(x_0) = 0 \)，即 \( f(x_0) = g(x_0) \)。

取 \( b = f(x_0) = g(x_0) \)，因为 \( x_0 \neq 0 \)，所以 \( b = \text{e}^{x_0} - x_0 > 1 \)。

此时方程 \( \text{e}^x - x = b \) 的两根为 \( x_1, x_0 \)（\( x_1 < 0 < x_0 \)）；

方程 \( x - \ln x = b \) 的两根为 \( x_0, x_4 \)（\( 0 < x_0 < 1 < x_4 \)）。

三交点横坐标从左到右分别为 \( x_1, x_0, x_4 \)。

下面利用指对同构建立两方程根的联系：

由 \( x_4 - \ln x_4 = b \implies x_4 - b = \ln x_4 \implies \text{e}^{x_4 - b} = x_4 \)。

两边同时减去 \( (x_4 - b) \)：

这说明 \( x_4 - b \) 是方程 \( \text{e}^x - x = b \) 的根！

同理，由 \( \text{e}^{x_1} - x_1 = b \implies \text{e}^{x_1} = x_1 + b \implies x_1 = \ln(x_1 + b) \)。

两边同时加上 \( b \) 得 \( (x_1 + b) - \ln(x_1 + b) = b \)，说明 \( x_1 + b \) 是方程 \( x - \ln x = b \) 的根！

因为 \( \text{e}^x - x = b \) 仅有两根 \( \{x_1, x_0\} \)，且 \( x_4 - b < x_0 \)，

所以必有：

即：

两式相等得到：

因此，从左到右的三个交点的横坐标成等差数列！证毕！