2022 新高考Ⅰ卷 - 第03题 (单选题)

平面向量减法与共线定理
前置知识回顾：公式与定理 (点击展开)
  • 向量减法三角形法则： 终点向量减起点向量，即 \( \vec{AB} = \vec{CB} - \vec{CA} \)，\( \vec{DA} = \vec{CA} - \vec{CD} \)。
  • 向量数乘与共线： 若 \( D \) 在 \( AB \) 上且 \( BD = 2DA \)，则同向共线向量有 \( \vec{BD} = 2\vec{DA} \)。

3. 在 \( \triangle ABC \) 中，点 \( D \) 在边 \( AB \) 上，\( BD = 2DA \)．记 \( \vec{CA} = \vec{m} \)，\( \vec{CD} = \vec{n} \)，则 \( \vec{CB} = \) (　　)

  • A. \( 3\vec{m} - 2\vec{n} \)
  • B. \( -2\vec{m} + 3\vec{n} \)
  • C. \( 3\vec{m} + 2\vec{n} \)
  • D. \( 2\vec{m} + 3\vec{n} \)
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思路与规范推导

破题思路全景图

由 BD = 2DA 转化为同向共线向量关系 BD = 2DA
以 C 为起点拆分向量：(CD - CB) = 2(CA - CD)
移项合并整理：CB = 3CD - 2CA
代入基底符号得 CB = 3n - 2m = -2m + 3n 锁定 B

最优解法深度剖析

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【解析详解】

由题设，点 \( D \) 在边 \( AB \) 上，且 \( BD = 2DA \)，方向同向，故有向量关系：

\[ \vec{BD} = 2\vec{DA} \]

以 \( C \) 为统一始点，利用向量减法三角形法则分解两边：

\[ \vec{CD} - \vec{CB} = 2(\vec{CA} - \vec{CD}) \]

展开并移项：

\[ \vec{CD} - \vec{CB} = 2\vec{CA} - 2\vec{CD} \implies \vec{CB} = 3\vec{CD} - 2\vec{CA} \]

将 \( \vec{CA} = \vec{m} \)，\( \vec{CD} = \vec{n} \) 代入，得：

\[ \vec{CB} = -2\vec{m} + 3\vec{n} \]

故选 B。

干扰项排雷

• 误选 A： 移项时系数符号颠倒，误算成 \( 3\vec{m} - 2\vec{n} \)。

• 误选 C 或 D： 向量方向混淆，把 \( \vec{DA} \) 写成 \( \vec{AD} \)，导致两项符号全为正。

最终答案核对

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正确答案：B

核心模型与结论

三点共线定理与定比分点模型：若 \( D \) 在线段 \( AB \) 上，且 \( \vec{AD} = \lambda \vec{DB} \)，则对于平面任意点 \( C \)，必有 \( \vec{CD} = \frac{1}{1+\lambda}\vec{CA} + \frac{\lambda}{1+\lambda}\vec{CB} \)。两系数之和必为 1！

易错警示与避坑

向量共线比例的方向性！线段长度比例 \( BD = 2DA \) 必须看清向量方向：\( \vec{BD} \) 与 \( \vec{DA} \) 同向，但若写成 \( \vec{BD} \) 与 \( \vec{AD} \) 则需加负号。

高分技法与秒杀

系数之和检验法：因为 \( D \) 在 \( AB \) 上，必有 \( \vec{CD} = x\vec{CA} + y\vec{CB} \) 且 \( x + y = 1 \)。由 \( BD = 2DA \implies \vec{CD} = \frac{2}{3}\vec{CA} + \frac{1}{3}\vec{CB} \implies \vec{CB} = 3\vec{CD} - 2\vec{CA} = -2\vec{m} + 3\vec{n} \)，直接检验系数之和 \( -2 + 3 = 1 \)，秒杀 B！

诊断与进阶指南

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