2022 新高考Ⅰ卷 - 第05题 (单选题)

古典概型与正难则反
前置知识回顾：公式与定理 (点击展开)
  • 古典概型计算公式： \( P(A) = \frac{m}{n} \)，从 \( N \) 个不同元素中随机取 2 个的组合数为 \( \text{C}_N^2 = \frac{N(N-1)}{2} \)。
  • 对立事件思想（正难则反）： 当正面讨论情况繁多时，先算不满足条件（不互质）的概率，再由 \( P = 1 - P(\text{不互质}) \) 求解。

5. 从 2 至 8 的 7 个整数中随机取 2 个不同的数，则这 2 个数互质的概率为 (　　)

  • A. \( \frac{1}{6} \)
  • B. \( \frac{1}{3} \)
  • C. \( \frac{1}{2} \)
  • D. \( \frac{2}{3} \)
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思路与规范推导

破题思路全景图

求基本事件总数：从 7 个数任选 2 个，C₇² = 21
正难则反：寻找有公因数（不互质）的数对
枚举不互质对：(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8) 共 7 组
求出不互质概率 7/21 = 1/3，对立事件概率 P = 1 - 1/3 = 2/3 选 D

最优解法深度剖析

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【解析详解】

从 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 这 7 个整数中随机取 2 个不同的数，所有可能的基本事件总数为：

\[ n = \text{C}_7^2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21 \]

考虑对立事件：“取出的 2 个数不互质”（即公约数大于 1）：

  • 含公约数 2（偶数中任取 2 个）：2, 4, 6, 8 中任取两个，有 \( (2,4), (2,6), (2,8), (4,6), (4,8), (6,8) \)，共 6 组；
  • 含公约数 3（3 与 6）：\( (3,6) \)，共 1 组。

两类相加且无重复，不互质的数对共有 \( 6 + 1 = 7 \) 组。

因此两数不互质的概率为 \( P(\bar{A}) = \frac{7}{21} = \frac{1}{3} \)。

由对立事件概率公式得，两数互质的概率为：

\[ P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \]

故选 D。

干扰项排雷

• 误选 B： 算出不互质的概率是 \( \frac{1}{3} \) 后，忘记用 1 减去对立事件，直接把反面答案选上。

• 误选 C： 枚举正面互质数对时漏掉了某些含奇数的组合，导致概率算成 \( \frac{1}{2} \)。

最终答案核对

解析阅读完毕，点击核对最终答案
正确答案：D

核心模型与结论

有限集合整除与互质古典概型模型。涉及“互质”问题，因为质因数集中在 2, 3, 5 等少数基底上，采用“正难则反”先数偶数组合最稳妥！

易错警示与避坑

直接正面硬数容易数晕遗漏。例如很容易漏数 \( (5, 7) \)、\( (5, 8) \) 等跨类别互质对。

高分技法与秒杀

分步秒数法：偶数共 4 个，偶数间不互质有 \( \text{C}_4^2 = 6 \) 组；另外奇数 3 与 6 不互质有 1 组。总不互质 \( 6 + 1 = 7 \) 组。互质概率 \( \frac{21 - 7}{21} = \frac{14}{21} = \frac{2}{3} \)，心算即可秒杀！

诊断与进阶指南

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