6. 记函数 \( f(x) = \sin\left(\omega x + \frac{\pi}{4}\right) + b\,(\omega > 0) \) 的最小正周期为 \( T \)．若 \( \frac{2\pi}{3} < T < \pi \)，且 \( y = f(x) \) 的图象关于点 \( \left(\frac{3\pi}{2}, 2\right) \) 中心对称，则 \( f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \) ( )
【解析详解】
第一步：确定 \( \omega \) 的取值范围。由最小正周期 \( T = \frac{2\pi}{\omega} \) 满足 \( \frac{2\pi}{3} < T < \pi \)，可得：
第二步：根据对称中心确定 \( b \) 与 \( \omega \)。由于正弦曲线对称中心必落在中轴线上，故：
同时，将对称中心横坐标代入正弦相位：
结合 \( 2 < \omega < 3 \)，解不等式：\( 2 < \frac{2}{3}k - \frac{1}{6} < 3 \implies \frac{13}{4} < k < \frac{19}{4} \)。
因为 \( k \in \mathbf{Z} \)，故唯一确定 \( k = 4 \)，从而代入得：
第三步：代入求值。函数解析式为 \( f(x) = \sin\left(\frac{5}{2}x + \frac{\pi}{4}\right) + 2 \)，将 \( x = \frac{\pi}{2} \) 代入：
故选 A。
• 误选 C 或 D： 误将对称中心当成了对称轴条件，列出 \( \omega x_0 + \varphi = k\pi + \frac{\pi}{2} \)，导致 \( \omega \) 求解失败。
• 误选 B： 算出 \( \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1 \) 时计算疏忽，加上 2 算成了 \( \frac{3}{2} \)。
正弦型函数特征点分析法：对称中心必满足相位 \( = k\pi \) 且纵坐标为平衡位置；对称轴必满足相位 \( = k\pi + \frac{\pi}{2} \) 且纵坐标为波峰波谷。
混淆对称中心与对称轴的相位方程！中心是零点（相位为 \( k\pi \)），对称轴是极值点（相位为 \( k\pi + \frac{\pi}{2} \)）。
特值整数锁定：由 \( 2 < \omega < 3 \)，分母是 2，直接猜最常见的半整数 \( \omega = 2.5 = \frac{5}{2} \)。验证 \( \frac{3\pi}{2} \times \frac{5}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{15\pi + \pi}{4} = 4\pi \) 恰好是整周期！直接算 \( f(\pi/2) = \sin(3\pi/2) + 2 = 1 \)，30秒搞定！
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