7. 设 \( a = 0.1\text{e}^{0.1} \)，\( b = \frac{1}{9} \)，\( c = -\ln 0.9 \)，则 ( )
【解析详解】
第一步：比较 \( b \) 与 \( c \)
注意 \( c = -\ln 0.9 = -\ln\frac{9}{10} = \ln\frac{10}{9} = \ln\left(1 + \frac{1}{9}\right) \)。
构造函数 \( f(x) = \ln(1 + x) - x \,(x > -1) \)，则导数 \( f'(x) = \frac{1}{1+x} - 1 = -\frac{x}{1+x} \)。
当 \( x > 0 \) 时，\( f'(x) < 0 \)，故 \( f(x) \) 在 \( (0, +\infty) \) 上单调递减。
因为 \( f(0) = 0 \)，取 \( x = \frac{1}{9} \)，有 \( f\left(\frac{1}{9}\right) < 0 \implies \ln\left(1 + \frac{1}{9}\right) - \frac{1}{9} < 0 \)，所以：
第二步：比较 \( a \) 与 \( b \)
由 \( f\left(-\frac{1}{10}\right) < f(0) = 0 \implies \ln\frac{9}{10} + \frac{1}{10} < 0 \implies \frac{9}{10} < \text{e}^{-\frac{1}{10}} \)。
两边同乘 \( \frac{1}{9}\text{e}^{\frac{1}{10}} \) 可得：\( \frac{1}{10}\text{e}^{0.1} < \frac{1}{9} \implies a < b \)。
第三步：比较 \( a \) 与 \( c \)
设 \( g(x) = x\text{e}^x + \ln(1 - x) \,(0 < x < 1) \)，求导：
令 \( h(x) = (1 - x^2)\text{e}^x - 1 \)，易证当 \( x \in (0, 0.1] \) 时，\( h(x) > 0 \implies g'(x) > 0 \)，因此 \( g(x) \) 在 \( (0, 0.1] \) 单调递增。
所以 \( g(0.1) > g(0) = 0 \implies 0.1\text{e}^{0.1} + \ln 0.9 > 0 \implies 0.1\text{e}^{0.1} > -\ln 0.9 \implies a > c \)。
综上所述，严格大小关系为：\( c < a < b \)。
故选 C。
• 误选 A： 以为 \( a = 0.1\text{e}^{0.1} \) 最小，忽略了二阶泰勒逼近中 \( a \) 明显大于 \( c \)。
• 误选 D： 虽比对了 \( b \) 最大，但误将 \( a < c \) 颠倒。
泰勒展开极速定序模型：\( \text{e}^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2} \)，\( -\ln(1-x) \approx x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} \)。遇到 0.1 这样的小量，泰勒多项式秒杀一切！
直接盲目估算容易翻车！因为 \( a \approx 0.1105 \)，\( c \approx 0.1054 \)，两者十分接近，必须借由严格单调性或二阶精度定夺。
二阶泰勒极速秒杀法：令 \( x = 0.1 \)。
• \( a = 0.1(1 + 0.1 + 0.005) = 0.1105 \)
• \( b = \frac{1}{9} \approx 0.1111 \)
• \( c = -\ln(1 - 0.1) \approx 0.1 + \frac{0.01}{2} + \frac{0.001}{3} \approx 0.1054 \)
一目了然：\( 0.1054 < 0.1105 < 0.1111 \implies c < a < b \)，5秒锁定 C！
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