8. 已知正四棱锥的侧棱长为 \( l \)，其各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为 \( 36\pi \)，且 \( 3 \le l \le 3\sqrt{3} \)，则该正四棱锥体积的取值范围是 ( )
【解析详解】
第一步：求球的半径 \( R \)。由球体积公式：
第二步：建立体积函数。设正四棱锥的高为 \( h \)（\( 0 < h < 2R = 6 \)）。
由球的轴截面圆性质，顶点与底面中心、外接球心共线，底面正方形的外接圆半径 \( r \) 满足：
因为底面为正方形，其对角线长为 \( 2r \)，故底面积为：
棱锥侧棱长 \( l \) 满足 \( l^2 = h^2 + r^2 = h^2 + (6h - h^2) = 6h \)。
由题设 \( 3 \le l \le 3\sqrt{3} \implies 9 \le l^2 \le 27 \implies 9 \le 6h \le 27 \implies \frac{3}{2} \le h \le \frac{9}{2} \)。
第三步：利用导数求体积最值。棱锥体积为：
对 \( V(h) \) 求导：
令 \( V'(h) = 0 \)，在 \( \left[\frac{3}{2}, \frac{9}{2}\right] \) 内的驻点为 \( h = 4 \)。
• 当 \( h \in \left[\frac{3}{2}, 4\right) \) 时，\( V'(h) > 0 \)，函数单调递增；
• 当 \( h \in \left(4, \frac{9}{2}\right] \) 时，\( V'(h) < 0 \)，函数单调递减。
故体积最大值为极大值：
比较两个端点值：
因此体积最小值为 \( \frac{27}{4} \)，体积取值范围为 \( \left[\frac{27}{4}, \frac{64}{3}\right] \)。
故选 C。
• 误选 A： 算错了导数极值点，以为端点 \( \frac{9}{2} \) 处取得最大值 \( \frac{81}{4} \)。
• 误选 B： 同样漏掉了内部驻点 \( h = 4 \) 的极大值，导致上限误选为 \( \frac{81}{4} \)。
立体几何外接球截面直角三角形射影定理模型：\( l^2 = 2Rh \)。求导求最值时必须结合自变量定义域区间，绝不能盲目只看端点或只看极值点！
直接拿端点算体积！三次多项式在闭区间上的最值，极值点往往比端点大（极大值）或小（极小值）。
极值点特征速算：形如 \( V(h) = c \cdot h^2(H - h) \) 的函数，由均值不等式或经典结论，当 \( \frac{h}{2} = \frac{h}{2} = H - h \implies h = \frac{2}{3}H \) 时取最大值！此处 \( H = 6 \implies h = 4 \)，直接代入即得上限 \( \frac{64}{3} \)，秒选 C！
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