9. 已知正方体 \( ABCD-A_1B_1C_1D_1 \)，则 ( )
在正方体 \( ABCD-A_1B_1C_1D_1 \) 中，面 \( ADD_1A_1 \parallel \) 面 \( BCC_1B_1 \)，故 \( DA_1 \parallel CB_1 \)。
因此异面直线 \( BC_1 \) 与 \( DA_1 \) 所成的角即为相交直线 \( BC_1 \) 与 \( CB_1 \) 所成的角。
因为侧面 \( BCC_1B_1 \) 是正方形，正方形两条对角线互相垂直，即 \( BC_1 \perp CB_1 \)。
故所成角为 \( 90^\circ \)，A 选项正确。
由题，\( C_1D_1 \perp \) 面 \( BCC_1B_1 \)，而 \( BC_1 \subset \) 面 \( BCC_1B_1 \)，所以 \( C_1D_1 \perp BC_1 \)。
又 \( B_1C \perp BC_1 \)，且 \( B_1C \cap C_1D_1 = C_1 \)，所以 \( BC_1 \perp \) 平面 \( A_1B_1CD \)（或平面 \( B_1CD_1 \)）。
因为 \( CA_1 \subset \) 平面 \( A_1B_1CD \)，所以 \( BC_1 \perp CA_1 \)。
故所成角为 \( 90^\circ \)，B 选项正确。
设正方体棱长为 1。连接 \( A_1C_1 \)，交 \( B_1D_1 \) 于点 \( O_1 \)。
因为 \( A_1C_1 \perp B_1D_1 \) 且 \( A_1C_1 \perp BB_1 \)，所以 \( A_1C_1 \perp \) 平面 \( BB_1D_1D \)。
过 \( C_1 \) 作对角面的垂线，垂足即为 \( O_1 \)。连接 \( BO_1 \)，则 \( \angle C_1BO_1 \) 为直线 \( BC_1 \) 与平面 \( BB_1D_1D \) 所成的角。
在 \( Rt\triangle BO_1C_1 \) 中，\( C_1O_1 = \frac{\sqrt{2}}{2} \)，斜边 \( BC_1 = \sqrt{2} \)，
所以 \( \sin\angle C_1BO_1 = \frac{C_1O_1}{BC_1} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \)。
因为角为锐角，所以该线面角为 \( 30^\circ \)，而不是 \( 45^\circ \)。故 C 选项错误。
因为 \( C_1C \perp \) 底面 \( ABCD \)，所以 \( BC \) 为直线 \( BC_1 \) 在底面 \( ABCD \) 上的射影。
因此直线 \( BC_1 \) 与底面 \( ABCD \) 所成的角即为 \( \angle C_1BC \)。
在等腰直角三角形 \( \triangle BCC_1 \) 中，\( \angle C_1BC = 45^\circ \)。故 D 选项正确。
正方体特征线面“八大黄金垂直与夹角”模型：正方体体对角线必垂直于与其不相交的六条面对角线形成的两个平行截面！面对角线与对角面夹角恒为 30°！
直接凭视觉直观误判线面角！很多同学看到 C 选项正方体有 45° 就想当然选上，必须严格找准斜线在平面内的垂直射影。
正方体坐标系极速验证：建立空间坐标系 \( B(0,0,0) \)，各向量点乘秒算：\( \vec{BC_1} \cdot \vec{DA_1} = 0 \implies 90^\circ \)，\( \vec{BC_1} \cdot \vec{CA_1} = 0 \implies 90^\circ \)，线面角正弦值 \( \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}||\vec{n}|} = \frac{1}{2} \implies 30^\circ \)，全面通杀！
请勾选您在解答此题时遇到的问题或诉求，一键反馈给Ai老师：