10. 已知函数 \( f(x) = x^3 - x + 1 \)，则 ( )
对 \( f(x) = x^3 - x + 1 \) 求导得：
令 \( f'(x) = 0 \)，解得 \( x_1 = -\frac{\sqrt{3}}{3} \)，\( x_2 = \frac{\sqrt{3}}{3} \)。
当 \( x \in \left(-\infty, -\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \) 时，\( f'(x) > 0 \)；当 \( x \in \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right) \) 时，\( f'(x) < 0 \)；当 \( x \in \left(\frac{\sqrt{3}}{3}, +\infty\right) \) 时，\( f'(x) > 0 \)。
导数在两驻点两侧均变号，因此 \( f(x) \) 恰有两个极值点。A 正确。
由 A 选项分析，\( f(x) \) 的极小值为：
因为 \( \left(\frac{2\sqrt{3}}{9}\right)^2 = \frac{12}{81} < 1 \)，所以 \( \frac{2\sqrt{3}}{9} < 1 \)，故极小值：
由于极小值仍然严格大于 0，且在 \( \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}, +\infty\right) \) 上函数值均大于 0，曲线只在 \( \left(-\infty, -\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \) 与 \( x \) 轴有唯一交点。
因此 \( f(x) \) 只有 1 个零点，而不是 3 个零点。B 错误。
检验中心对称性，计算 \( f(-x) + f(x) \)：
由中心对称充要条件 \( f(x) + f(2x_0 - x) = 2y_0 \)，取 \( x_0 = 0 \)，\( y_0 = 1 \)，满足：
因此点 \( (0, 1) \) 是曲线 \( y = f(x) \) 的对称中心。C 正确。
设切点为 \( (x_0, x_0^3 - x_0 + 1) \)，切线斜率应为 2：
① 当 \( x_0 = 1 \) 时，切点为 \( (1, 1) \)，切线方程为 \( y - 1 = 2(x - 1) \implies y = 2x - 1 \)；
② 当 \( x_0 = -1 \) 时，切点为 \( (-1, 1) \)，切线方程为 \( y - 1 = 2(x + 1) \implies y = 2x + 3 \)。
两条切线截距分别为 -1 和 3，均不是 \( y = 2x \)。故 D 错误。
三次函数“单峰单谷与对称中心”零点模型：三次函数的零点个数由极大值与极小值的符号乘积决定！\( f_{\text{极大}} \cdot f_{\text{极小}} > 0 \implies 1 \) 个零点；\( f_{\text{极大}} \cdot f_{\text{极小}} < 0 \implies 3 \) 个零点。
切线斜率相同不等于就是切线！必须验证切点是否在已知直线上。导数等于 2 只是必要条件，切点代入截距不同直接排除。
零点秒判法：极小值 \( 1 - \frac{2\sqrt{3}}{9} > 0 \)，极大值更大也是正数，波谷都没掉到 x 轴下方，不可能折返回来产生 3 个交点，秒杀排除 B！
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