11. 已知 \( O \) 为坐标原点，点 \( A(1,1) \) 在抛物线 \( C: x^2 = 2py\,(p > 0) \) 上，过点 \( B(0, -1) \) 的直线交 \( C \) 于 \( P, Q \) 两点，则 ( )
将点 \( A(1, 1) \) 代入抛物线方程 \( x^2 = 2py \)，得 \( 1^2 = 2p \times 1 \implies 2p = 1 \implies p = \frac{1}{2} \)。
故抛物线方程为 \( x^2 = y \)，其准线方程应为 \( y = -\frac{p}{2} = -\frac{1}{4} \)。
选项 A 称准线为 \( y = -1 \)，显然错误。
直线 \( AB \) 过 \( A(1, 1) \) 与 \( B(0, -1) \)，其斜率 \( k_{AB} = \frac{1 - (-1)}{1 - 0} = 2 \)。
故直线 \( AB \) 方程为 \( y = 2x - 1 \)。
联立直线与抛物线方程：
判别式 \( \Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times 1 = 0 \)，方程有唯一实数解，说明直线 \( AB \) 与抛物线相切于点 \( A \)。B 正确。
设过 \( B(0, -1) \) 的割线方程为 \( y = kx - 1 \)，代入 \( y = x^2 \) 得 \( x^2 - kx + 1 = 0 \)。
因为割线交抛物线于两点，故 \( \Delta = k^2 - 4 > 0 \implies k^2 > 4 \)。
由韦达定理，\( x_1 + x_2 = k \)，\( x_1 x_2 = 1 \)。
由于 \( P(x_1, x_1^2), Q(x_2, x_2^2) \)，故：
\( (|OP| \cdot |OQ|)^2 = (x_1 x_2)^2 (1 + x_1^2)(1 + x_2^2) = 1 \times [1 + (x_1^2 + x_2^2) + (x_1 x_2)^2] \)。
因为 \( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = k^2 - 2 > 4 - 2 = 2 \)，
所以 \( (|OP| \cdot |OQ|)^2 = 1 + (k^2 - 2) + 1 = k^2 > 4 \implies |OP| \cdot |OQ| > 2 \)。
而 \( |OA|^2 = 1^2 + 1^2 = 2 \)，因此 \( |OP| \cdot |OQ| > |OA|^2 \)。C 正确。
由直线参数方程或距离公式，\( |BP| \cdot |BQ| = (1 + k^2)|x_1 x_2| = 1 + k^2 \)。
因为 \( k^2 > 4 \)，所以 \( |BP| \cdot |BQ| = 1 + k^2 > 5 \)。
而 \( |BA|^2 = (1 - 0)^2 + (1 - (-1))^2 = 1^2 + 2^2 = 5 \)。
所以 \( |BP| \cdot |BQ| > 5 = |BA|^2 \)。D 正确。
圆锥曲线割线与切线长定理演化模型：点 \( B \) 引切线 \( BA \) 及割线 \( BPQ \)，在抛物线凹形特征中，割线积 \( |BP| \cdot |BQ| \) 必大于切线长平方 \( |BA|^2 \)！
准线方程记错参数 \( p \)：\( x^2 = 2py \) 的准线是 \( y = -p/2 \)，不少同学误记为 \( y = -p \)，导致错判 A。
割线定理几何不等式妙杀：由于抛物线是下凸曲线，相切是割线的极端临界状态。割线偏离切线时，割线段乘积严格单调递增，故必有 \( |BP| \cdot |BQ| > |BA|^2 \)，直接秒杀选 D！
请勾选您在解答此题时遇到的问题或诉求，一键反馈给Ai老师：