2022 新高考Ⅰ卷 - 第12题 (多选题)

❌ 选项 A 错误：

原函数 \( f(x) \) 的对称性决定了函数形状，但可以上下任意垂直平移常数 \( C \)。

例如取 \( f(x) = \cos(\pi x) + 10 \)，完全满足所有题设条件，但 \( f(0) = 11 \neq 0 \)。故 A 错误。

✅ 选项 B 正确：

因为 \( f\left(\frac{3}{2} - 2x\right) \) 是偶函数，所以 \( f\left(\frac{3}{2} - 2(-x)\right) = f\left(\frac{3}{2} - 2x\right) \implies f\left(\frac{3}{2} + 2x\right) = f\left(\frac{3}{2} - 2x\right) \)。

说明 \( f(x) \) 关于直线 \( x = \frac{3}{2} \) 对称。

对 \( f\left(\frac{3}{2} + t\right) = f\left(\frac{3}{2} - t\right) \) 两边关于 \( t \) 求导，由链式法则：

这说明 \( g(x) \) 关于点 \( \left(\frac{3}{2}, 0\right) \) 中心对称，特别地，\( g\left(\frac{3}{2}\right) = 0 \)。

又因为 \( g(2 + x) \) 是偶函数，所以 \( g(2 + x) = g(2 - x) \)，即 \( g(x) \) 关于直线 \( x = 2 \) 对称。

由对称性：\( g\left(-\frac{1}{2}\right) = g\left(2 - \frac{5}{2}\right) = g\left(2 + \frac{5}{2}\right) = g\left(\frac{9}{2}\right) \)。

同时，\( g\left(\frac{9}{2}\right) = g\left(\frac{3}{2} + 3\right) = -g\left(\frac{3}{2} - 3\right) = -g\left(-\frac{3}{2}\right) \)。继续由周期性 \( T = 4 \times (2 - \frac{3}{2}) = 2 \) 可严密解得 \( g\left(-\frac{1}{2}\right) = 0 \)。B 正确。

✅ 选项 C 正确：

因为 \( g(x) \) 既有对称中心 \( \left(\frac{3}{2}, 0\right) \)，又有对称轴 \( x = 2 \)，距离为 \( 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2} \)。

由“一轴一中心”周期定理，\( g(x) \) 的周期为 \( T = 4 \times \frac{1}{2} = 2 \)。

由于 \( f'(x) = g(x) \)，导函数周期为 2 且在一个周期内积分为 0，所以 \( f(x) \) 也是周期为 2 的周期函数！

因此 \( f(4) = f(4 - 2 \times 2) = f(0) \)。

又因为 \( f(x) \) 关于 \( x = \frac{3}{2} \) 对称，所以 \( f(-1) = f(3 - (-1)) = f(4) \)。

故 \( f(-1) = f(4) \) 恒成立。C 正确。

❌ 选项 D 错误：

利用周期 \( T = 2 \) 进行化简：

而 \( g(1) = g(2 - 1) = g(2 + 1) = g(3) \)。

由 \( g\left(\frac{3}{2}\right) = 0 \) 为零点，而 \( x = 2 \) 是极值轴，一般情况下 \( g(1) \neq g(2) \)。

例如取 \( g(x) = \cos(\pi x) \)，\( g(-1) = -1 \)，而 \( g(2) = 1 \)，两者互为相反数，并不相等。故 D 错误。