2022 新高考Ⅰ卷 - 第19题 (解答题)

直三棱柱与空间二面角向量法
前置知识回顾：公式与定理 (点击展开)
  • 三棱锥等体积变换法： \( V_{A-A_1BC} = V_{A_1-ABC} = \frac{1}{3}S_{\triangle ABC} \cdot AA_1 = \frac{1}{3}V_{\text{直三棱柱}} \)。
  • 二面角的向量正弦值公式： 设两半平面的法向量分别为 \( \vec{m}, \vec{n} \)，则二面角的正弦值为 \( \sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta} = \sqrt{1 - \left(\frac{|\vec{m} \cdot \vec{n}|}{|\vec{m}||\vec{n}|}\right)^2} \)。

19. 如图，直三棱柱 \( ABC-A_1B_1C_1 \) 的体积为 4，\( \triangle A_1BC \) 的面积为 \( 2\sqrt{2} \)．

（1）求 \( A \) 到平面 \( A_1BC \) 的距离；

（2）设 \( D \) 为 \( A_1C \) 的中点，\( AA_1 = AB \)，平面 \( A_1BC \perp \) 平面 \( ABB_1A_1 \)，求二面角 \( A-BD-C \) 的正弦值．

基于数学引擎的绝对精确动态绘图

思路与规范推导

破题思路全景图

(1)等体积法转化：V_{A-A₁BC} = 1/3·V_{柱} = 4/3，由 1/3·S·h = 4/3 解出 h = √2
面面垂直性质：由面面垂直推 BC ⊥ 面 ABB₁A₁，得出 BC, BA, BB₁ 两两垂直
以 B 为原点建立空间直角坐标系，写出 A, B, C, D 坐标
求出面 ABD 与面 BDC 的法向量，算向量夹角余弦为 1/2，得出二面角正弦值 √3/2

(1) 求点 \( A \) 到平面 \( A_1BC \) 的距离 满分 4 分

点击查看第 (1) 问等体积法步骤

在直三棱柱 \( ABC-A_1B_1C_1 \) 中，设点 \( A \) 到平面 \( A_1BC \) 的距离为 \( h \)。

由三棱锥体积公式：

\[ V_{A-A_1BC} = \frac{1}{3} S_{\triangle A_1BC} \cdot h = \frac{1}{3} \times 2\sqrt{2} \times h = \frac{2\sqrt{2}}{3}h \]

同时，利用等体积转换，以底面 \( \triangle ABC \) 为底，\( AA_1 \) 为高：

\[ V_{A-A_1BC} = V_{A_1-ABC} = \frac{1}{3} S_{\triangle ABC} \cdot AA_1 = \frac{1}{3} V_{ABC-A_1B_1C_1} = \frac{1}{3} \times 4 = \frac{4}{3} \]

联立两式：

\[ \frac{2\sqrt{2}}{3}h = \frac{4}{3} \implies h = \frac{4}{2\sqrt{2}} = \sqrt{2} \]

所以点 \( A \) 到平面 \( A_1BC \) 的距离为 \( \sqrt{2} \)。

得 4 分

(2) 求二面角 \( A-BD-C \) 的正弦值 满分 8 分

点击查看第 (2) 问建系向量推导

取 \( A_1B \) 的中点 \( E \)，连接 \( AE \)。因为 \( AA_1 = AB \)，且侧面 \( ABB_1A_1 \) 为矩形，所以侧面是正方形，故 \( AE \perp A_1B \)。

又平面 \( A_1BC \perp \) 平面 \( ABB_1A_1 \)，交线为 \( A_1B \)，由面面垂直性质定理，得 \( AE \perp \) 平面 \( A_1BC \)。

所以 \( AE \) 的长即为点 \( A \) 到平面 \( A_1BC \) 的距离，由（1）得 \( AE = \sqrt{2} \)。

因为正方形对角线一半为 \( \sqrt{2} \)，所以 \( A_1B = 2\sqrt{2} \)，边长 \( AA_1 = AB = 2 \)。

又 \( AE \subset \) 面 \( ABB_1A_1 \)，易证 \( BC \perp \) 平面 \( ABB_1A_1 \)，所以 \( BC \perp AB \)，\( BC \perp BB_1 \)。由底面积可解得 \( BC = 2 \)。

得 6 分

以 \( B \) 为坐标原点，建立空间直角坐标系，各点坐标为：

\[ B(0,0,0), \quad A(0,2,0), \quad C(2,0,0), \quad A_1(0,2,2) \]

由 \( D \) 是 \( A_1C \) 的中点，得 \( D(1, 1, 1) \)。

向量：\( \vec{BD} = (1, 1, 1) \)，\( \vec{BA} = (0, 2, 0) \)，\( \vec{BC} = (2, 0, 0) \)。

设平面 \( ABD \) 的法向量为 \( \vec{m} = (x_1, y_1, z_1) \)，由 \( \begin{cases} \vec{m} \cdot \vec{BD} = x_1 + y_1 + z_1 = 0 \\ \vec{m} \cdot \vec{BA} = 2y_1 = 0 \end{cases} \)，取 \( \vec{m} = (1, 0, -1) \)。

设平面 \( BDC \) 的法向量为 \( \vec{n} = (x_2, y_2, z_2) \)，由 \( \begin{cases} \vec{n} \cdot \vec{BD} = x_2 + y_2 + z_2 = 0 \\ \vec{n} \cdot \vec{BC} = 2x_2 = 0 \end{cases} \)，取 \( \vec{n} = (0, 1, -1) \)。

得 9 分

计算法向量夹角的余弦值：

\[ \cos\langle\vec{m}, \vec{n}\rangle = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}||\vec{n}|} = \frac{1 \times 0 + 0 \times 1 + (-1) \times (-1)}{\sqrt{1^2 + 0 + (-1)^2} \times \sqrt{0 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{1}{2} \]

因此二面角 \( A-BD-C \) 的正弦值为：

\[ \sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\langle\vec{m}, \vec{n}\rangle} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
满分 12 分

最终答案核对

解析阅读完毕，点击核对最终答案
（1）\(\sqrt{2}\)；
（2）\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)．

核心模型与结论

等体积法求点到面距离与面面垂直建系模型：点到面的距离第一反应永远是“三棱锥等体积法”，体积除以底面面积三分之一秒得；第二问抓住面面垂直性质线面垂直，确定两两垂直轴建系。

易错警示与避坑

问的是“正弦值”还是“余弦值”！题目明确要求“求二面角的正弦值”，很多同学算出余弦 \( 1/2 \) 没开根号转正弦就交卷，痛失 2 分！

高分技法与秒杀

特殊几何体对称秒算：平面 \( ABD \) 与平面 \( BDC \) 围绕轴 \( BD \) 对称分布，直接用射影面积法或法向量 \( \cos = 1/2 \implies \sin = \frac{\sqrt{3}}{2} \)，稳拿满分！

诊断与进阶指南

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