20. 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了 100 例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了 100 人（称为对照组），得到如下数据：
| 不够良好 | 良好 | 合计 | |
|---|---|---|---|
| 病例组 | 40 | 60 | 100 |
| 对照组 | 10 | 90 | 100 |
| 合计 | 50 | 150 | 200 |
（1）能否有 99% 的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
（2）从该地的人群中任选一人，\( A \) 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，\( B \) 表示事件“选到的人患有该疾病”．\( \frac{P(B \mid A)}{P(\bar{B} \mid A)} \) 与 \( \frac{P(B \mid \bar{A})}{P(\bar{B} \mid \bar{A})} \) 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为 \( R \)．
（ⅰ）证明：\( R = \frac{P(A \mid B)}{P(\bar{A} \mid B)} \cdot \frac{P(\bar{A} \mid \bar{B})}{P(A \mid \bar{B})} \)；
（ⅱ）利用该调查数据，给出 \( P(A \mid B), P(A \mid \bar{B}) \) 的估计值，并给出 \( R \) 的估计值．
由列联表已知：\( a = 40, b = 60, c = 10, d = 90 \)，总样本容量 \( n = 200 \)。
代入卡方检验公式计算 \( K^2 \)：
因为 \( 24 > 6.635 \)，根据临界值表可知：
有 99% 的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异。
（ⅰ）证明：根据条件概率公式：
将两式相比得到：
又因为 \( \frac{P(AB)}{P(\bar{A}B)} = \frac{P(A \mid B)P(B)}{P(\bar{A} \mid B)P(B)} = \frac{P(A \mid B)}{P(\bar{A} \mid B)} \)，且 \( \frac{P(\bar{A}\bar{B})}{P(A\bar{B})} = \frac{P(\bar{A} \mid \bar{B})P(\bar{B})}{P(A \mid \bar{B})P(\bar{B})} = \frac{P(\bar{A} \mid \bar{B})}{P(A \mid \bar{B})} \)。
所以相乘即得：
（ⅰ）得证！
（ⅱ）估值计算：由病例组（已患病，即事件 \( B \) 发生）100 人中不够良好的有 40 人：
由对照组（未患病，即事件 \( \bar{B} \) 发生）100 人中不够良好的有 10 人：
代入（ⅰ）中公式计算 \( R \) 的估计值：
所以 \( R \) 的估计值为 6。
医学流行病学病例对照研究与比值比（Odds Ratio）模型：\( R = \frac{ad}{bc} \)。当样本按发病与否进行回顾性对照抽样时，无法直接算绝对发病率，但几率比 \( R \) 在代数上严格等于交叉乘积比！
直接把样本数当绝对概率算发病率！本题是“回顾性抽样”（按 1:1 挑了 100 病例和 100 对照），不是全人群自然抽样，故必须严格利用（ⅰ）证明的条件概率公式转化！
交叉乘积一眼秒杀：\( R = \frac{ad}{bc} = \frac{40 \times 90}{60 \times 10} = \frac{3600}{600} = 6 \)。第一问 \( K^2 = \frac{200 \times 3000^2}{100 \times 100 \times 50 \times 150} = 24 \)，口算 1 分钟搞定两问！
请勾选您在解答此题时遇到的问题或诉求，一键反馈给Ai老师：