2022 新高考Ⅰ卷 - 第21题 (解答题)

将点 \( A(2, 1) \) 代入双曲线 \( C \)：

整理得 \( a^4 - 4a^2 + 4 = 0 \implies (a^2 - 2)^2 = 0 \implies a^2 = 2 \)。

所以双曲线 \( C \) 的方程为：\( \frac{x^2}{2} - y^2 = 1 \)。

设直线 \( l: y = kx + m \)，设 \( P(x_1, y_1), Q(x_2, y_2) \)。

联立 \( \begin{cases} y = kx + m \\ x^2 - 2y^2 = 2 \end{cases} \implies (1 - 2k^2)x^2 - 4kmx - (2m^2 + 2) = 0 \)。

由韦达定理：\( x_1 + x_2 = \frac{4km}{1 - 2k^2} \)，\( x_1 x_2 = -\frac{2m^2 + 2}{1 - 2k^2} \)。

由 \( k_{AP} + k_{AQ} = 0 \implies \frac{y_1 - 1}{x_1 - 2} + \frac{y_2 - 1}{x_2 - 2} = 0 \)。

将 \( y_1 = kx_1 + m, y_2 = kx_2 + m \) 通分代入分子：

将韦达定理代入并化简得：

若 \( 2k - 1 + m = 0 \implies m = 1 - 2k \)，此时直线 \( l: y = k(x - 2) + 1 \) 过定点 \( A(2, 1) \)，与题设交于不同两点矛盾，舍去！

因此唯一解为 \( k = -1 \)。即直线 \( l \) 的斜率为 -1。

设直线 \( AP, AQ \) 的倾斜角分别为 \( \alpha, \beta \)（不妨设 \( \alpha < \beta \)）。

因为 \( k_{AP} + k_{AQ} = 0 \)，所以 \( \alpha + \beta = \pi \implies \beta = \pi - \alpha \)。

故 \( \angle PAQ = \beta - \alpha = \pi - 2\alpha \)。

已知 \( \tan\angle PAQ = \tan(\pi - 2\alpha) = -\tan 2\alpha = 2\sqrt{2} \implies \tan 2\alpha = -2\sqrt{2} \)。

根据正切二倍角公式：

因式分解解得 \( \tan\alpha = \sqrt{2} \)（负根舍去）。

所以直线 \( AP \) 斜率为 \( \sqrt{2} \)，直线 \( AQ \) 斜率为 \( -\sqrt{2} \)。

直线 \( AP: y - 1 = \sqrt{2}(x - 2) \implies y = \sqrt{2}x - 2\sqrt{2} + 1 \)。

与双曲线 \( x^2 - 2y^2 = 2 \) 联立解得点 \( P \) 的坐标，同理求出点 \( Q \) 坐标。

可求得直线 \( PQ \) 的方程为：\( x + y - \frac{5}{3} = 0 \)，弦长 \( |PQ| = \frac{16}{3} \)。

点 \( A(2, 1) \) 到直线 \( PQ \) 的距离为：

因此 \( \triangle PAQ \) 的面积为：