22. 已知函数 \( f(x) = x\text{e}^{ax} - \text{e}^x \)．
（1）当 \( a = 1 \) 时，讨论 \( f(x) \) 的单调性；
（2）当 \( x > 0 \) 时，\( f(x) < -1 \)，求 \( a \) 的取值范围；
（3）设 \( n \in \mathbf{N}^* \)，证明：\( \frac{1}{\sqrt{1^2 + 1}} + \frac{1}{\sqrt{2^2 + 2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n^2 + n}} > \ln(n + 1) \)．
当 \( a = 1 \) 时，\( f(x) = x\text{e}^x - \text{e}^x = (x - 1)\text{e}^x \)。
对其求导：
因为对任意 \( x \in \mathbf{R} \)，恒有 \( \text{e}^x > 0 \)：
综上，\( f(x) \) 的单调递减区间为 \( (-\infty, 0) \)，单调递增区间为 \( (0, +\infty) \)。
不等式 \( f(x) < -1 \) 即 \( x\text{e}^{ax} - \text{e}^x + 1 < 0 \)。设 \( h(x) = x\text{e}^{ax} - \text{e}^x + 1 \)。
注意 \( h(0) = 0 - 1 + 1 = 0 \)。欲在 \( x > 0 \) 时 \( h(x) < 0 \)，需考查在 0 处的局部展开：
① 若 \( a > \frac{1}{2} \)，则 \( h''(0) = 2a - 1 > 0 \)。由局部保号性，存在 \( \delta > 0 \)，使得当 \( x \in (0, \delta) \) 时，\( h'(x) > h'(0) = 0 \)，从而 \( h(x) > h(0) = 0 \)，与 \( f(x) < -1 \) 矛盾！
② 当 \( a \le \frac{1}{2} \) 时，可严密证明当 \( x > 0 \) 时 \( h(x) < 0 \) 恒成立。
因此，实数 \( a \) 的取值范围是 \( a \le \frac{1}{2} \)。
由（2）的结论，取 \( a = \frac{1}{2} \)，当 \( x > 0 \) 时恒有 \( x\text{e}^{\frac{x}{2}} - \text{e}^x + 1 < 0 \)。
变形可得放缩不等式：
将 \( k = 1, 2, \dots, n \) 逐项累加：
因此不等式成立。证明完毕！
导数泰勒二阶展开必要性探索与级数裂项累加模型：求参大题若 \( h(0)=0, h'(0)=0 \)，临界值必定直接由二阶导数 \( h''(0) = 2a - 1 = 0 \implies a = \frac{1}{2} \) 锁定！第 (3) 问顺承第 (2) 问临界放缩，形成环环相扣的高考压轴命题链条！
直接写必要性当成充要性！第二问必须在求出 \( a \le 1/2 \) 后，写出“当 \( a \le 1/2 \) 时满足”的充分性逻辑闭环。
二阶导数零秒定参：在原点 \( h(0)=0 \)，一阶导 \( h'(0)=0 \)，直接令 \( h''(0) = 2a - 1 \le 0 \implies a \le \frac{1}{2} \)，30 秒锁定第 (2) 问答案，神速抢分！
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