2022 新高考Ⅱ卷 - 第08题 (单选题)

抽象函数方程与周期性求和
前置知识回顾：公式与定理 (点击展开)
  • 柯西型函数方程余弦模型： \( f(x + y) + f(x - y) = f(x)f(y) \) 是余弦和差化积公式 \( 2\cos x\cos y \) 的抽象原型。
  • 周期性递推关系： 若 \( f(x+1) + f(x-1) = f(x) \)，则函数具有周期 \( T = 6 \)，且一个周期内连续 6 项和为 0。

8. 已知函数 \( f(x) \) 的定义域为 \( \mathbf{R} \)，且 \( f(x + y) + f(x - y) = f(x)f(y) \)，\( f(1) = 1 \)，则 \( \sum_{k=1}^{22} f(k) = \) (　　)

  • A. -3
  • B. -2
  • C. 0
  • D. 1
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思路与规范推导

破题思路全景图

赋值法：令 x=1, y=0 推出 f(0) = 2
赋值法：令 y=1 得 f(x+1) + f(x-1) = f(x)，确定周期 T = 6
计算前6项值：f(1)=1, f(2)=-1, f(3)=-2, f(4)=-1, f(5)=1, f(6)=2
周期和为 0，22 = 6×3 + 4，总和转化为前 4 项之和
1 + (-1) + (-2) + (-1) = -3 锁定选项 A

最优解法深度剖析

点击查看最优解推导过程

【解析详解】

第一步：赋值求 \( f(0) \)

在 \( f(x + y) + f(x - y) = f(x)f(y) \) 中，令 \( x = 1, y = 0 \)：

\[ f(1) + f(1) = f(1)f(0) \implies 2f(1) = f(1)f(0) \]

因为 \( f(1) = 1 \neq 0 \)，两边除以 \( f(1) \) 得：\( f(0) = 2 \)。

第二步：建立递推式并发现周期性

令 \( y = 1 \)，代入原方程：

\[ f(x + 1) + f(x - 1) = f(x)f(1) = f(x) \implies f(x + 1) = f(x) - f(x - 1) \]

依次计算自变量取整数时的函数值：

  • \( f(1) = 1 \)
  • \( f(2) = f(1) - f(0) = 1 - 2 = -1 \)
  • \( f(3) = f(2) - f(1) = -1 - 1 = -2 \)
  • \( f(4) = f(3) - f(2) = -2 - (-1) = -1 \)
  • \( f(5) = f(4) - f(3) = -1 - (-2) = 1 \)
  • \( f(6) = f(5) - f(4) = 1 - (-1) = 2 = f(0) \)
  • \( f(7) = f(6) - f(5) = 2 - 1 = 1 = f(1) \)

因此函数 \( f(n) \) 是以 6 为周期的周期数列！

第三步：周期求和与余数处理

计算一个完整周期 6 项的和：

\[ \sum_{k=1}^6 f(k) = f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6) = 1 + (-1) + (-2) + (-1) + 1 + 2 = 0 \]

对于前 22 项求和，因为 \( 22 = 6 \times 3 + 4 \)：

\[ \sum_{k=1}^{22} f(k) = 3 \times \left(\sum_{k=1}^6 f(k)\right) + \sum_{k=1}^4 f(k) = 3 \times 0 + [f(1) + f(2) + f(3) + f(4)] \]
\[ = 1 + (-1) + (-2) + (-1) = -3 \]

故选 A。

干扰项排雷

• 误选 B： 周期求和时漏掉了某一项负号，把前 4 项算成了 -2。

• 误选 C： 以为 22 是周期的倍数，草率填 0。

最终答案核对

解析阅读完毕，点击核对最终答案
正确答案：A

核心模型与结论

柯西余弦方程原型映射模型：\( f(x) = 2\cos\left(\frac{\pi}{3}x\right) \)。由积化和差 \( 2\cos(x+y) + 2\cos(x-y) = 4\cos x\cos y = [2\cos x][2\cos y] \)，完全吻合题设方程！

易错警示与避坑

递推式求值计算马虎！每一步减法必须检查符号：\( -1 - 1 = -2 \)，\( -2 - (-1) = -1 \)，一个符号错全盘皆输。

高分技法与秒杀

余弦特例秒杀大招：直接匹配原型函数 \( f(x) = 2\cos\left(\frac{\pi}{3}x\right) \)。验证 \( f(1) = 2\cos\frac{\pi}{3} = 1 \)，完美符合！直接算前 4 项：\( 1 - 1 - 2 - 1 = -3 \)，无需繁复列递推，30 秒秒杀 A！

诊断与进阶指南

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