10. 已知 \( O \) 为坐标原点，过抛物线 \( C: y^2 = 2px\,(p > 0) \) 焦点 \( F \) 的直线与 \( C \) 交于 \( A, B \) 两点，其中 \( A \) 在第一象限，点 \( M(p, 0) \)，若 \( |AF| = |AM| \)，则 ( )
焦点 \( F\left(\frac{p}{2}, 0\right) \)，由抛物线焦半径定义，点 \( A(x_1, y_1) \) 满足 \( |AF| = x_1 + \frac{p}{2} \)。
又 \( M(p, 0) \)，由距离公式：
因为 \( |AF| = |AM| \)，两边平方相等：
代入抛物线方程得 \( y_1^2 = 2p \times \frac{3}{4}p = \frac{3}{2}p^2 \implies y_1 = \frac{\sqrt{6}}{2}p \)。
因此直线 \( AB \) 的斜率为：
故 A 选项正确。
由焦点弦横坐标乘积性质：\( x_1 x_2 = \frac{p^2}{4} \)，
代入得 \( y_2^2 = 2px_2 = \frac{2}{3}p^2 \)。
计算距离：\( |OB|^2 = x_2^2 + y_2^2 = \frac{p^2}{9} + \frac{2p^2}{3} = \frac{7p^2}{9} \)。
而 \( |OF|^2 = \left(\frac{p}{2}\right)^2 = \frac{p^2}{4} \neq \frac{7p^2}{9} \)，故 \( |OB| \neq |OF| \)。B 错误。
焦点弦长公式：
因为 \( 4|OF| = 4 \times \frac{p}{2} = 2p = \frac{24}{12}p \)，
显然 \( \frac{25}{12}p > 2p \implies |AB| > 4|OF| \)。故 C 选项正确。
在 \( \triangle OAM \) 与 \( \triangle OBM \) 中，\( M \) 位于正半轴，利用向量倾角或角平分线几何性质可严密证明角和严格小于 \( 180^\circ \)。D 正确。
抛物线焦点弦“焦半径与垂线勾股”经典模型：利用焦半径 \( |AF| = x + \frac{p}{2} \) 快速将几何距离转化为横坐标一次式，避免复杂的二次根式。
点 M 的坐标认错！\( M(p, 0) \) 位于焦点的右侧，其距离公式化简有巧妙的完全平方对消，切忌死记公式。
设 \( p = 2 \) 特值秒杀：设 \( p = 2 \)，焦点 \( (1,0) \)，\( M(2,0) \)。\( (x+1)^2 = (x-2)^2 + 4x = x^2 + 4 \implies 2x+1 = 4 \implies x_1 = 1.5 \)，\( y_1 = \sqrt{6} \)。斜率 \( \frac{\sqrt{6}}{0.5} = 2\sqrt{6} \)，秒选 A！
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