12. 若 \( x, y \) 满足 \( x^2 + y^2 - xy = 1 \)，则 ( )
取特例 \( x = 1, y = 1 \)，代入方程验证：
此时 \( x + y = 1 + 1 = 2 > 1 \)。
选项 A 称 \( x + y \le 1 \)，与特例矛盾。故 A 错误。
将 \( x^2 + y^2 - xy = 1 \) 改写为关于 \( x + y \) 与 \( xy \) 的式子：
因为对于任意实数 \( x, y \)，恒有 \( xy \le \left(\frac{x + y}{2}\right)^2 = \frac{(x + y)^2}{4} \)，所以：
移项整理：
因此 \( x + y \ge -2 \) 恒成立。B 正确。
将条件改写为 \( x^2 + y^2 = 1 + xy \)。
由基本不等式 \( xy \le \frac{x^2 + y^2}{2} \)，代入得：
移项可得：
当且仅当 \( x = y = \pm 1 \) 时取等号。故 C 正确。
由 \( xy \ge -\frac{x^2 + y^2}{2} \)，代入得：
取特例 \( x = \frac{\sqrt{3}}{3}, y = -\frac{\sqrt{3}}{3} \)，验证：
此时 \( x^2 + y^2 = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} < 1 \)。
选项 D 称 \( x^2 + y^2 \ge 1 \)，与特例不符。故 D 错误。
二元二次齐次式与基本不等式约束链模型：利用 \( (x+y)^2 \)、\( (x-y)^2 \) 与 \( x^2+y^2 \) 之间的双向放缩，求出一切对称代数式的上下界边界！
选项 D 下界误区：很多人以为平方和下界是 1，实际上两数异号时 \( xy < 0 \)，平方和可以缩小到 \( \frac{2}{3} \)。
特值法极速排雷秒杀：
• 令 \( x=y=1 \)，满足 \( 1+1-1=1 \)，此时 \( x+y=2 > 1 \) 直接击毙 A！
• 令 \( x=-y=\frac{\sqrt{3}}{3} \)，满足条件，此时 \( x^2+y^2 = \frac{2}{3} < 1 \) 直接击毙 D！
15 秒秒杀排除 A、D，稳稳拿下 BC！
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