2022 新高考Ⅱ卷 - 第13题 (填空题)

正态分布对称性与区间概率

前置知识回顾：公式与定理 (点击展开)

正态分布曲线对称性： 若随机变量 \( X \sim N(\mu, \sigma^2) \)，则其密度曲线关于直线 \( x = \mu \) 对称，且对称轴两侧各占一半面积：\( P(X \le \mu) = P(X > \mu) = 0.5 \)。
区间概率互补性： \( P(X > a) = P(X > \mu) - P(\mu < X \le a) \)（\( a > \mu \)）。

13. 已知随机变量 \( X \) 服从正态分布 \( N(2, \sigma^2) \)，且 \( P(2 < X \le 2.5) = 0.36 \)，则 \( P(X > 2.5) = \)____________．

基于数学引擎的绝对精确动态绘图

思路与规范推导

识别对称轴：X ~ N(2, σ²) 对应均值 μ = 2

利用半边全概率性质：P(X > 2) = 0.5

区间拆解：P(X > 2.5) = P(X > 2) - P(2 < X ≤ 2.5)

直接作差：0.5 - 0.36 = 0.14 填入答案

点击查看严密推导过程

第一步：明确正态分布的核心特征

因为随机变量 \( X \) 服从正态分布 \( N(2, \sigma^2) \)，所以正态曲线的对称轴为直线 \( x = 2 \)。

由正态曲线的对称性，对称轴右侧的全部概率为总概率的一半：

\[ P(X > 2) = 0.5 \]

第二步：区间概率差值计算

事件 \( X > 2 \) 可以互斥拆解为两部分：

\[ P(X > 2) = P(2 < X \le 2.5) + P(X > 2.5) \]

已知 \( P(2 < X \le 2.5) = 0.36 \)，移项即可得解：

\[ P(X > 2.5) = P(X > 2) - P(2 < X \le 2.5) = 0.5 - 0.36 = 0.14 \]

• 全概率当成 1 减： 误用总概率 \( 1 - 0.36 = 0.64 \)，忘记 2 是均值中线，右侧总和仅为 0.5。

• 小数减法借位粗心： 把 \( 0.5 - 0.36 \) 算成了 0.24。

解析阅读完毕，点击核对最终答案

0.14

正态分布“对称轴半区概率 0.5”切片模型：抓准均值 \( \mu \)，正态分布在 \( (\mu, +\infty) \) 的总概率恒为 0.5，任意区段概率通过中线作差秒出结果。

直接用 1 减去 0.36！切记 1 是整条曲线面积，只有在求关于均值双侧对称区间时才用 1 减。

口算 3 秒秒杀：看到均值为 2，右边一半是 0.5。\( 0.5 - 0.36 = 0.14 \)，直接填空！

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忘记半区面积为 0.5：算成 1 - 0.36 = 0.64 小数减法算错：0.5 - 0.36 算错成 0.24 完美通关：几何直观清晰，心算 0.14 满分！