19. 在某地区进行流行病学调查，随机调查了 100 位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
各组区间分别为：[20, 30) 频率为 0.05，[30, 40) 频率为 0.16，[40, 50) 频率为 0.22，[50, 60) 频率为 0.31，[60, 70) 频率为 0.15，[70, 80) 频率为 0.11。
（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 \( [20, 70) \) 的概率；
（3）已知该地区这种疾病的患病率为 \( 0.1\% \)，该地区年龄位于区间 \( [40, 50) \) 的人口占该地区总人口的 \( 16\% \)．从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间 \( [40, 50) \)，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到 0.0001）．
各组区间的组中值依次为：25, 35, 45, 55, 65, 75。
由样本频率估计平均数：
所以估计该地区这种疾病患者的平均年龄为 47.9 岁。
方法一（对立事件法）：
年龄不在 \( [20, 70) \) 的唯一区间为 \( [70, 80) \)，其频率为 0.11。
方法二（正面相加法）：
因此该地区一位患者年龄位于 \( [20, 70) \) 的概率为 0.89。
设事件 \( E \) 表示“任选一人患有该疾病”，事件 \( A \) 表示“任选一人年龄位于区间 \( [40, 50) \)”。
由题设已知：
在患者人群中，年龄位于 \( [40, 50) \) 的条件概率为：
所求概率为“已知此人年龄在 \( [40, 50) \) 的条件下，此人患该疾病的概率”，即 \( P(E \mid A) \)。
由条件概率与乘法公式：
因此该人患这种疾病的概率约为 0.0014。
医学筛查与贝叶斯后验概率模型：已知先验患病率 \( P(E) \) 和特征发生率 \( P(A|E) \)，求特定人群特征下的后验患病率 \( P(E|A) = \frac{P(A|E)P(E)}{P(A)} \)。
混淆 \( P(A \mid E) \) 与 \( P(E \mid A) \)！0.22 是“已患病者中年龄在40~50”的概率，第三问要求的是“年龄在40~50中患病”的概率，方向完全相反！
乘除心算秒杀：分子 \( 0.001 \times 0.22 = 2.2 \times 10^{-4} \)，除以分母 0.16：\( \frac{2.2}{0.16} \times 10^{-4} = 13.75 \times 10^{-4} = 0.001375 \approx 0.0014 \)，四舍五入 1 秒锁定！
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