20. 如图，PO 是三棱锥 \( P-ABC \) 的高，\( PA = PB \)，\( AB \perp AC \)，\( E \) 是 \( PB \) 的中点．
（1）证明：\( OE \parallel \) 平面 \( PAC \)；
（2）若 \( \angle ABO = \angle CBO = 30^\circ \)，\( PO = 3 \)，\( PA = 5 \)，求二面角 \( C-AE-B \) 的正弦值．
因为 \( PO \perp \) 平面 \( ABC \)，所以 \( PO \perp OA \)，\( PO \perp OB \)。
在 \( Rt\triangle POA \) 和 \( Rt\triangle POB \) 中，\( PO = PO \)，\( PA = PB \)，所以 \( \triangle POA \cong \triangle POB \implies OA = OB \)。
延长 \( BO \) 交 \( AC \) 于点 \( D \)。连接 \( AD \)。
因为 \( AB \perp AC \)，在 \( Rt\triangle ABD \) 中，由等腰三角形角平分线与垂直性质可知 \( O \) 为 \( BD \) 的中点。
在 \( \triangle PBD \) 中，点 \( E \) 是 \( PB \) 的中点，点 \( O \) 是 \( BD \) 的中点，
所以 \( OE \) 是 \( \triangle PBD \) 的中位线，故 \( OE \parallel PD \)。
又因为 \( PD \subset \) 平面 \( PAC \)，且 \( OE \not\subset \) 平面 \( PAC \)，
由线面平行的判定定理，得 \( OE \parallel \) 平面 \( PAC \)。
由 \( PO = 3 \)，\( PA = 5 \)，得 \( OA = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4 \implies OB = 4 \)。
在 \( \triangle ABC \) 中，结合角度条件建立空间直角坐标系，以 \( O \) 为原点。
求得平面 \( CAE \) 的法向量 \( \vec{n}_1 \) 与平面 \( BAE \) 的法向量 \( \vec{n}_2 \)。
通过空间向量点乘公式计算两平面法向量夹角余弦值：
因此二面角 \( C-AE-B \) 的正弦值为：
三棱锥高线射影与中位线线面平行模型：顶点到两底点距离相等，则射影到两底点距离相等！构造三角形中位线是证明线面平行最经典优雅的几何路径。
线面平行判定定理必须注明三个条件：线在面外、平行线在面内、两线平行。漏写一个条件扣 1 分！
二面角正弦值勾股验算：算出余弦值分子是 \( 4\sqrt{3} \)，分母是 13。分子的平方为 48，\( 169 - 48 = 121 = 11^2 \)，完全开方整洁！直接写出 \( \sin = \frac{11}{13} \)，验算完美！
请勾选您在解答此题时遇到的问题或诉求，一键反馈给Ai老师：