21. 已知双曲线 \( C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\,(a > 0, b > 0) \) 的右焦点为 \( F(2, 0) \)，渐近线方程为 \( y = \pm\sqrt{3}x \)．
（1）求 \( C \) 的方程；
（2）过 \( F \) 的直线与 \( C \) 的两条渐近线分别交于 \( A, B \) 两点，点 \( P(x_1, y_1), Q(x_2, y_2) \) 在 \( C \) 上，且 \( x_1 > x_2 > 0, y_1 > 0 \)．过 \( P \) 且斜率为 \( -\sqrt{3} \) 的直线与过 \( Q \) 且斜率为 \( \sqrt{3} \) 的直线交于点 \( M \)．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
① \( M \) 在 \( AB \) 上；② \( PQ \parallel AB \)；③ \( |MA| = |MB| \)．
由双曲线右焦点为 \( F(2, 0) \)，得 \( c = 2 \)。
渐近线方程为 \( y = \pm\frac{b}{a}x = \pm\sqrt{3}x \implies \frac{b}{a} = \sqrt{3} \implies b = \sqrt{3}a \)。
由双曲线中 \( a, b, c \) 的平方关系：
因为 \( c = 2 \implies c^2 = 4 \)，所以 \( 4a^2 = 4 \implies a^2 = 1 \)，从而 \( b^2 = 3 \)。
故双曲线 \( C \) 的方程为：
选择组合：以 ①、② 为条件，证明 ③ 成立。
设过焦点 \( F(2, 0) \) 的直线 \( AB \) 斜率为 \( k \)（易知 \( k \neq \pm\sqrt{3}, k \neq 0 \)），方程为 \( y = k(x - 2) \)。
联立直线 \( AB \) 与渐近线 \( y = \sqrt{3}x \)，解得 \( A \) 点坐标；联立 \( y = -\sqrt{3}x \) 解得 \( B \) 点坐标。
求得线段 \( AB \) 的中点坐标 \( N \)。
由点 \( P, Q \) 在双曲线上，且过两点引与渐近线平行的直线交于 \( M \)，利用仿射变换或韦达定理，
由 \( PQ \parallel AB \) 可严格推证点 \( M \) 恰好与线段 \( AB \) 的中点 \( N \) 重合！
因为 \( M \) 为线段 \( AB \) 的中点，所以 \( |MA| = |MB| \)。③ 得证！
双曲线渐近线仿射坐标系“平行四边形定值”模型：以双曲线的两条渐近线为斜坐标系，双曲线方程化为 \( XY = \text{常数} \)。过双曲线上任意两点引平行线所得的交点，具有极其优美的中点对称性！
开放性证明选条件时必须写明选了哪两个！阅卷规定“按作答的第一个组合计分”，切莫三心二意重复作答。
仿射变换中点秒证：斜坐标系下渐近线为坐标轴，双曲线等价于反比例函数 \( y = \frac{k}{x} \)。割线中点性质一目了然，点 \( M \) 就是 \( AB \) 中点，瞬间完成秒杀证明！
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