百校联考 - 第03题 (单选题)

统计 · 样本中心点与经验回归方程、残差计算

前置知识回顾：公式与定理 (点击展开)

样本中心点性质：经验回归直线 \(\hat{y} = bx + a\) 必经过样本中心点 \((\bar{x}, \bar{y})\)。
样本均值公式：\(\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\)，\(\bar{y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i\)。
残差定义公式：样本点 \((x_i, y_i)\) 处的残差为实际观测值与回归估计值之差：\(e_i = y_i - \hat{y}_i\)。

某研究所研究耕种深度 \(x\)（单位：cm）与一种农作物每公顷产量 \(y\)（单位：t）的关系，所得数据资料如下表：

耕种深度 \(x/\text{cm}\)	3	4	6	7
每公顷产量 \(y/\text{t}\)	5	6	8	9

发现 \(y\) 与 \(x\) 之间具有线性相关关系，其经验回归方程为 \(\hat{y} = 0.6x + a\). 据此计算样本点 \((7, 9)\) 处的残差为

A. \(-0.8\)

B. \(-0.7\)

C. \(0.6\)

D. \(0.8\)

基于数学引擎的绝对精确动态绘图

思路与规范推导

求样本中心点坐标 (x̄, ȳ)

代入回归方程确定截距 a=4

计算 x=7 时的预测值 ŷ=8.2

依据残差公式 e=y-ŷ 算出 0.8

点击查看最优解推导过程

第一步：计算样本平均值 \((\bar{x}, \bar{y})\)

\[ \bar{x} = \frac{3 + 4 + 6 + 7}{4} = \frac{20}{4} = 5, \] \[ \bar{y} = \frac{5 + 6 + 8 + 9}{4} = \frac{28}{4} = 7. \]

第二步：求截距 \(a\) 并确定回归方程

因为经验回归直线必过样本中心点 \((5, 7)\)，将其代入 \(\hat{y} = 0.6x + a\)：

\[ 7 = 0.6 \times 5 + a \implies 7 = 3 + a \implies a = 4. \]

所以回归方程为 \(\hat{y} = 0.6x + 4\)。

第三步：计算预测值与残差

当 \(x = 7\) 时，回归估计值为：

\[ \hat{y} = 0.6 \times 7 + 4 = 4.2 + 4 = 8.2. \]

故样本点 \((7, 9)\) 处的残差为：

\[ e = y - \hat{y} = 9 - 8.2 = 0.8. \]

• 误选 A \(-0.8\)： 倒置了残差的定义公式，误写为预测值减去实际值 \(\hat{y} - y = 8.2 - 9 = -0.8\)。

• 误选 B 或 C： 均值求和除错或截距 \(a\) 计算失误。

解析阅读完毕，点击核对最终答案

正确答案：D

模型提炼

线性回归样本中心与残差模型：回归直线过 \((\bar{x}, \bar{y})\) 是考频最高的必考恒等式；残差方向为“观测减预测”（上正下负）。

易错警示

残差绝对不能反记为 \(\hat{y} - y\)；若点在回归线上方，残差必为正数；若在下方，残差必为负数。

提速技巧

几何符号速判法：点 \((7, 9)\) 明显在直线 \(\hat{y}=0.6x+4\) 上方，真实产量高于预期，残差必然为正，直接排除 A、B，再做 9 - 8.2 = 0.8 秒杀！

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审题粗心，混淆已知条件与范围底层基础公式记忆不扎实代数恒等变形或代值计算失误空间几何/解析几何数形结合建模失败

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