百校联考 - 第04题 (单选题)

计数原理 · 多重集全排列与组合选位法

前置知识回顾：公式与定理 (点击展开)

多重集排列数公式：总计 \(n\) 个元素，其中相同元素个数分别为 \(n_1, n_2, \dots, n_k\)，其全排列种数为 \(\frac{n!}{n_1! n_2! \dots n_k!}\)。
组合位置选取法：先从 \(n\) 个空位中为相同元素选定位置，剩余位置依次填入其他元素。

将英文单词“mommy”的字母组合，能得到不同字母排法的种数为

A. 20

B. 25

C. 30

D. 35

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思路与规范推导

统计单词字母组成：3个m、1个o、1个y

用组合选位法先为3个m选位置 C(5,3)

为剩余2个位置排字母 o 与 y

相乘得出总不同排法种数 20

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第一步：分析字母频数

单词“mommy”共含有 5 个字母，其中：

第二步：计算排列种数

解法一（多重集排列公式）：

\[ N = \frac{5!}{3! \times 1! \times 1!} = \frac{120}{6 \times 1 \times 1} = 20. \]

解法二（位置选取法）：

在 5 个排列位置中，先选出 3 个位置放字母“m”，有 \(C_5^3 = 10\) 种选法；

剩余的 2 个位置排字母“o”和“y”，有 \(A_2^2 = 2\) 种排法。

根据分步乘法计数原理，共有：

\[ N = C_5^3 \times A_2^2 = 10 \times 2 = 20 \text{ 种}. \]

• 误选 C 30： 错误地套用 \(\frac{5!}{2! \times 2!} = 30\)，把字母数量数错。

• 漏除全排列数： 若直接当作 5 个不同元素全排列得出 \(5! = 120\)，严重忽略了 3 个相同字母“m”的置换不产生新排法。

解析阅读完毕，点击核对最终答案

正确答案：A

模型提炼

带重复元素的多重全排列模型：无论排列英文单词（如 success, banana, mommy）还是多色小球入座，公式均为 \(\frac{n!}{\prod n_i!}\)。

易错警示

切勿把相同字母当作不同元素计算；牢记位置选取法 \(C_n^k\) 是最稳妥直观的防错手段。

提速技巧

直接口算：在 5 个位子挑 2 个放不同的 o, y，并考虑顺序，即 \(A_5^2 = 5 \times 4 = 20\)，剩下全塞 m，一行算定！

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审题粗心，混淆已知条件与范围底层基础公式记忆不扎实代数恒等变形或代值计算失误空间几何/解析几何数形结合建模失败

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