百校联考 - 第06题 (单选题)

第一步：判定函数 \(f(x)\) 的奇偶性

当 \(x > 0\) 时，\(-x < 0\)，根据解析式：

\[ f(-x) = 1 - e^{-(-x)} = 1 - e^x = -(e^x - 1) = -f(x). \]

当 \(x < 0\) 时，\(-x > 0\)，同理可得 \(f(-x) = e^{-x} - 1 = -(1 - e^{-x}) = -f(x)\)。

又 \(f(0) = e^0 - 1 = 0\)，故 \(f(x)\) 是定义在 \(\mathbf{R}\) 上的奇函数。

第二步：判定函数 \(f(x)\) 的单调性

当 \(x \ge 0\) 时，\(e^x\) 单调递增，故 \(f(x) = e^x - 1\) 单调递增；

结合奇函数图像关于原点中心对称，可知 \(f(x)\) 在整个实数集 \(\mathbf{R}\) 上严格单调递增。

第三步：利用性质转化不等式

不等式 \(f(m-x^2) + f(mx) < 0\) 变形为：

\[ f(m-x^2) < -f(mx). \]

利用奇函数性质 \(-f(mx) = f(-mx)\)，可得：

\[ f(m-x^2) < f(-mx). \]

由 \(f(x)\) 在 \(\mathbf{R}\) 上单调递增，脱去函数符号：

\[ m - x^2 < -mx \iff x^2 - mx - m > 0. \]

第四步：由二次不等式恒成立求 \(m\)

由题意，对任意 \(x \in \mathbf{R}\)，二次不等式 \(x^2 - mx - m > 0\) 恒成立，其二次项系数 \(1 > 0\) 恒正，必满足判别式严格小于 0：

\[ \Delta = (-m)^2 - 4 \times 1 \times (-m) = m^2 + 4m < 0 \iff m(m+4) < 0. \]

解得：\(-4 < m < 0\)，即实数 \(m\) 的取值范围为 \((-4, 0)\)。