百校联考 - 第07题 (单选题)

第一步：求原等比数列各项

已知数列 \(\{a_n\}\) 首项 \(a_1 = 3\)，公比 \(q = 3\)，则 \(a_n = 3^n\)：

\[ a_1 = 3, \quad a_2 = 9, \quad a_3 = 27, \quad a_4 = 81, \quad a_5 = 243. \]

第二步：统计插入项数与项数累加

• 在 \(a_1\) 与 \(a_2\) 之间插入 \(2^1 = 2\) 个 1；
• 在 \(a_2\) 与 \(a_3\) 之间插入 \(2^2 = 4\) 个 1；
• 在 \(a_3\) 与 \(a_4\) 之间插入 \(2^3 = 8\) 个 1；
• 在 \(a_4\) 与 \(a_5\) 之间插入 \(2^4 = 16\) 个 1；
• 在 \(a_5\) 与 \(a_6\) 之间插入 \(2^5 = 32\) 个 1。

到第 \(a_4\) 及其后面的 1 结束时，总项数为：

\[ \text{项数} = 4 \text{ (原数列项)} + (2 + 4 + 8 + 16) \text{ (插入的1)} = 4 + 30 = 34 \text{ 项}. \]

接下来第 35 项为 \(a_5 = 243\)。

从第 35 项到第 50 项，还需要包含的项数为 \(50 - 35 = 15\) 项，这 15 项全部为 \(a_5\) 与 \(a_6\) 之间插入的数字 1。

第三步：分组求和计算 \(S_{50}\)

因此数列 \(\{b_n\}\) 的前 50 项由原数列前 5 项和共计 45 个数字 1组成：

\[ S_{50} = (a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5) + 1 \times (2 + 4 + 8 + 16 + 15) \] \[ = (3 + 9 + 27 + 81 + 243) + 45 = 363 + 45 = 408. \]