百校联考 - 第08题 (单选题)

第一步：由向量比例与双曲线定义表示各边长

记双曲线右焦点为 \(F_2\)，半焦距为 \(c\)，则 \(|F_1F_2| = 2c\)。

由 \(\vec{F_1Q} = \frac{1}{4}\vec{F_1P}\) 可知点 \(F_1, Q, P\) 共线且同向，且：

\[ |F_1P| = 4|F_1Q| = 4a. \]

因为 \(|F_1Q| = a\)，所以：

\[ |QP| = |F_1P| - |F_1Q| = 4a - a = 3a. \]

因为点 \(Q\) 在双曲线左支上，由双曲线定义：

\[ |QF_2| - |QF_1| = 2a \implies |QF_2| = |QF_1| + 2a = a + 2a = 3a. \]

因为点 \(P\) 在双曲线右支上，由双曲线定义：

\[ |PF_1| - |PF_2| = 2a \implies |PF_2| = |PF_1| - 2a = 4a - 2a = 2a. \]

第二步：在 \(\triangle PQF_2\) 中求余弦值

在 \(\triangle PQF_2\) 中，三边长分别为 \(QP = 3a\)，\(QF_2 = 3a\)，\(PF_2 = 2a\)。

由余弦定理：

\[ \cos\angle PQF_2 = \frac{|QP|^2 + |QF_2|^2 - |PF_2|^2}{2|QP| \cdot |QF_2|} = \frac{(3a)^2 + (3a)^2 - (2a)^2}{2 \times 3a \times 3a} = \frac{9 + 9 - 4}{18} = \frac{14}{18} = \frac{7}{9}. \]

第三步：利用平角互补在 \(\triangle F_1QF_2\) 中求焦距 \(2c\)

因为点 \(F_1, Q, P\) 共线，\(\angle F_1QF_2\) 与 \(\angle PQF_2\) 互为补角，故：

\[ \cos\angle F_1QF_2 = -\cos\angle PQF_2 = -\frac{7}{9}. \]

在 \(\triangle F_1QF_2\) 中，已知 \(|F_1Q| = a\)，\(|QF_2| = 3a\)，\(|F_1F_2| = 2c\)。由余弦定理：

\[ |F_1F_2|^2 = |F_1Q|^2 + |QF_2|^2 - 2|F_1Q| \cdot |QF_2| \cos\angle F_1QF_2 \] \[ (2c)^2 = a^2 + (3a)^2 - 2 \times a \times 3a \times \left(-\frac{7}{9}\right) \] \[ 4c^2 = a^2 + 9a^2 + \frac{14}{3}a^2 = 10a^2 + \frac{14}{3}a^2 = \frac{44}{3}a^2. \]

两边同除以 4：

\[ c^2 = \frac{11}{3}a^2 \implies \frac{c^2}{a^2} = \frac{11}{3}. \]

第四步：求解离心率

\[ e = \frac{c}{a} = \sqrt{\frac{11}{3}} = \frac{\sqrt{33}}{3}. \]